方差

Abstract

方差（Variance）是度量随机变量取值离散程度的核心数字特征。对于随机变量 $X$，方差定义为 $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$，即 $X$ 与其期望值之差的平方的期望。方差越大，说明 $X$ 的取值越分散；方差越小，说明 $X$ 的取值越集中在期望附近。方差的平方根 $\sigma =\sqrt{V(X)}$ 称为标准差，与 $X$ 具有相同的量纲。

定义

方差（Variance）

设 $X$ 为随机变量，其期望值为 $\mu =E(X)$，则 $X$ 的方差定义为： $V(X)=E\left[(X-\mu {)}^2\right]=E(X^2)-[E(X){]}^2$

推导过程： $V(X)=E\left[(X-\mu {)}^2\right]=E(X^2-2\mu X+{\mu }^2)$ $=E(X^2)-2\mu E(X)+{\mu }^2=E(X^2)-2{\mu }^2+{\mu }^2=E(X^2)-{\mu }^2$

其中最后一步利用了 $E(X)=\mu$。

标准差（Standard Deviation）

方差的平方根称为标准差： $\sigma =\sqrt{V(X)}$

意义：标准差与随机变量 $X$ 具有相同的量纲（单位），因此比方差更直观。例如，若 $X$ 的单位为”米”，则 $V(X)$ 的单位为”平方米”，而 $\sigma$ 的单位仍为”米”。

方差的线性变换性质

对任意常数 $a,b$： $V(aX+b)=a^{2}V(X)$

推导：设 $\mu =E(X)$，则 $E(aX+b)=a\mu +b$。 $V(aX+b)=E\left[(aX+b-a\mu -b{)}^2\right]=E\left[a^2(X-\mu {)}^2\right]=a^{2}V(X)$

注意：平移（加常数 $b$）不改变方差，只有缩放（乘常数 $a$）才影响方差，且影响是平方级的。

Bienayme公式（独立随机变量方差的可加性）

若 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，则： $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

推导： $V(X+Y)=E\left[(X+Y{)}^2\right]-[E(X+Y){]}^2$ $=E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)-[E(X){]}^2-2E(X)E(Y)-[E(Y){]}^2$ $=V(X)+V(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)]$

由于 $X,Y$ 独立，$E(XY)=E(X)E(Y)$，故最后一项为零。

注意：与期望的线性性质不同，方差的可加性要求独立性。

伯努利随机变量的方差

设 $X$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布（$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$），则：

• $E(X)=p$
• $E(X^2)=1^2\cdot p+0^2\cdot (1-p)=p$
• $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=p-p^2=p(1-p)$

当 $p=1/2$ 时，$V(X)=1/4$，达到最大值。

核心性质

编号	性质	公式/说明
P1	非负性	$V(X)\ge 0$，且 $V(X)=0$ 当且仅当 $X$ 几乎必然为常数
P2	定义等价形式	$V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$，计算时通常比定义式更方便
P3	平移不变性	$V(X+b)=V(X)$，加常数不改变离散程度
P4	缩放性质	$V(aX)=a^{2}V(X)$，缩放对方差的影响是平方级的
P5	独立可加性	$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$（要求 $X,Y$ 独立，Bienayme公式）
P6	标准差量纲一致	$\sigma =\sqrt{V(X)}$ 与 $X$ 具有相同量纲
P7	切比雪夫不等式的桥梁	方差是切比雪夫不等式的核心参数，刻画了偏离期望的概率上界

关系网络

graph LR
    A[方差]
    B[期望值]
    C[随机变量]
    D[切比雪夫不等式]
    E[标准差]

    C -- "离散程度" --> A
    B -- "E(X²)-[E(X)]²" --> A
    A -- "σ² 参数" --> D
    A -- "平方根" --> E
    E -- "量纲一致" --> C

章节扩展

• 期望值：期望值是方差计算的基础，$V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$
• 切比雪夫不等式：切比雪夫不等式利用方差给出随机变量偏离期望的概率上界：$P(|X-\mu |\ge r)\le {\sigma }^2/r^2$
• 几何分布：几何分布的方差为 $V(X)=(1-p)/p^2$

补充

生活类比

想象两个射手射击靶心。射手A每次都打在靶心附近，弹着点很集中；射手B有时打中靶心，有时偏离很远，弹着点很分散。虽然两人的”平均”命中位置可能都是靶心（期望值相同），但射手B的”方差”明显更大——他的表现更不稳定。方差就是用来量化这种”波动大小”的指标。

为什么方差要用平方？

直接计算 $E(X-\mu )$ 会得到零（正负偏差相互抵消），所以需要先平方再求期望。平方确保了所有偏差都贡献正值。当然也可以用绝对值 $E(|X-\mu |)$ 来度量离散程度（称为平均绝对偏差），但方差在数学上有更好的性质（如可加性），因此更常用。

Bienayme公式的重要性

Bienayme公式（独立随机变量方差的可加性）在统计学中有广泛应用。例如，若 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是 $n$ 个独立的同分布随机变量，每个方差为 ${\sigma }^2$，则它们的和 $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ 的方差为 $V(S_n)=n{\sigma }^2$，标准差为 $\sigma \sqrt{n}$。这一结论是切比雪夫不等式证明大数定律的关键。

参见

• 期望值：方差计算的基础，$V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$
• 随机变量：方差是随机变量的核心数字特征
• 切比雪夫不等式：利用方差给出概率上界的重要不等式
• 几何分布：方差为 $(1-p)/p^2$ 的离散分布