几何分布

Abstract

几何分布（Geometric Distribution）描述在一系列独立的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数。若每次试验成功的概率为 $p$（$0<p<1$），则首次成功出现在第 $k$ 次试验的概率为 $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$。几何分布的期望值为 $E(X)=1/p$，方差为 $V(X)=(1-p)/p^2$。几何分布具有独特的无记忆性——过去的失败不影响未来的成功概率。

定义

几何分布（Geometric Distribution）

设进行一系列独立的伯努利试验，每次试验成功的概率为 $p$（$0<p<1$），失败的概率为 $q=1-p$。令 $X$ 表示首次成功所需的试验次数，则 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布： $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p=q^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$

直观含义：首次成功出现在第 $k$ 次试验，意味着前 $k-1$ 次全部失败（概率 $q^{k-1}$），第 $k$ 次成功（概率 $p$）。

几何分布的期望值

$E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }k\cdot q^{k-1}p$

推导：令 $S={\sum }_{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}$，利用几何级数 ${\sum }_{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1}{1-q}$（$|q|<1$）对两边求导： ${\sum }_{k=0}^{\infty }k{q}^{k-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p^2}$

因此 $S=\frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p^2}$，故： $E(X)=p\cdot S=p\cdot \frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}$

直观理解：如果每次成功概率为 $p$，平均需要 $1/p$ 次试验才能首次成功。例如抛硬币首次出现正面平均需要 $1/(1/2)=2$ 次。

几何分布的方差

$V(X)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{q}{p^2}$

推导：先求 $E(X^2)$： $E(X^2)={\sum }_{k=1}^{\infty }{k}^2{q}^{k-1}p$

利用恒等式 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{k}^2{q}^{k-1}=\frac{1+q}{(1-q{)}^3}=\frac{1+q}{p^3}$： $E(X^2)=p\cdot \frac{1+q}{p^3}=\frac{1+q}{p^2}$

因此： $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{1+q}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$

无记忆性（Memoryless Property）

几何分布是唯一具有无记忆性的离散分布。其含义为： $P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$

对所有非负整数 $m,n$ 成立。

直观含义：在已经失败了 $m$ 次的条件下，还需要再试验 $n$ 次以上才能成功的概率，等于从一开始就需要 $n$ 次以上才能成功的概率。过去的失败不影响未来的成功概率——每次试验都是”全新开始”。

证明： $P(X>m+n\mid X>m)=\frac{P(X>m+n)}{P(X>m)}$

其中 $P(X>k)={\sum }_{j=k+1}^{\infty }{q}^{j-1}p=p{q}^k{\sum }_{j=0}^{\infty }{q}^j=p{q}^k\cdot \frac{1}{1-q}=q^k$。

因此：$\frac{P(X>m+n)}{P(X>m)}=\frac{q^{m+n}}{q^m}=q^n=P(X>n)$。$■$

累积分布函数

$P(X\le k)={\sum }_{j=1}^k{q}^{j-1}p=p\cdot \frac{1-q^k}{1-q}=1-q^k=1-(1-p{)}^k$

直观含义：前 $k$ 次试验中至少成功一次的概率为 $1-(1-p{)}^k$。

推论：$P(X>k)=(1-p{)}^k$，即前 $k$ 次全部失败的概率。

核心性质

编号	性质	公式/说明
P1	概率质量函数	$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$，$k=1,2,3,\dots$
P2	期望值	$E(X)=1/p$，成功概率越大，首次成功越快
P3	方差	$V(X)=(1-p)/p^2$，成功概率越小，波动越大
P4	无记忆性	$P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$，过去不影响未来
P5	累积分布	$P(X\le k)=1-(1-p{)}^k$，前 $k$ 次至少成功一次的概率
P6	唯一性	几何分布是唯一具有无记忆性的离散分布

关系网络

graph LR
    A[几何分布]
    B[伯努利试验]
    C[期望值]
    D[方差]
    E[二项分布]

    B -- "首次成功" --> A
    A -- "E(X) = 1/p" --> C
    A -- "V(X) = (1-p)/p²" --> D
    B -- "n次中成功次数" --> E
    A -- "特殊情形" --> E

章节扩展

• 伯努利试验：伯努利试验是几何分布的基础模型，几何分布描述的是伯努利试验序列中首次成功的等待时间
• 期望值：期望值 $E(X)=1/p$ 是几何分布最重要的数字特征
• 方差：方差 $V(X)=(1-p)/p^2$ 度量了几何分布的离散程度

补充

生活类比

想象你在玩一个中奖率为 $1\%$ 的抽奖游戏。几何分布告诉我们：你平均需要抽 $1/0.01=100$ 次才能首次中奖。但更重要的是”无记忆性”：如果你已经抽了50次都没中奖，不要觉得”下次该中了”——你从第51次开始，仍然平均需要再抽100次才能中奖。过去的失败不会让你”积攒运气”，每次抽奖都是独立的。

几何分布与二项分布的关系

几何分布和二项分布都基于伯努利试验，但回答不同的问题：

• 几何分布：首次成功需要多少次试验？（“等待时间”问题）
• 二项分布：固定 $n$ 次试验中有多少次成功？（“计数”问题）

两者的联系：$P(X>n)=(1-p{)}^n$ 恰好是二项分布中 $n$ 次试验全部失败的概率。

几何分布的两种定义

注意：几何分布有两种常见的参数化方式：

1. 本笔记采用的形式：$X$ 为首次成功的试验次数，$X\in \{1,2,3,\dots \}$，$P(X=k)=q^{k-1}p$
2. 另一种形式：$Y$ 为首次成功之前的失败次数，$Y\in \{0,1,2,\dots \}$，$P(Y=k)=q^{k}p$

两者关系为 $Y=X-1$，因此 $E(Y)=E(X)-1=(1-p)/p$，$V(Y)=V(X)=(1-p)/p^2$。阅读文献时需注意使用的是哪种定义。

参见

• 伯努利试验：几何分布的基础模型
• 期望值：几何分布的期望为 $1/p$
• 方差：几何分布的方差为 $(1-p)/p^2$