二项分布

Abstract

二项分布（Binomial Distribution）描述 $n$ 次独立重复伯努利试验中恰好成功 $k$ 次的概率。其概率质量函数为 $b(k;n,p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$。二项分布是离散概率论中最重要的分布之一，广泛应用于质量检测、民意调查、可靠性分析等领域。

定义

二项分布

设进行 $n$ 次独立重复的伯努利试验，每次成功的概率为 $p$（$0<p<1$）， 失败的概率为 $q=1-p$。 令 $X$ 表示 $n$ 次试验中成功的总次数，则 $X$ 服从参数为 $(n,p)$ 的二项分布， 记为 $X\sim B(n,p)$。

二项分布的概率质量函数

$$b(k;n,p)=P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$$

其中 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是二项式系数， 表示从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次成功位置的组合数。

推导思路：要恰好成功 $k$ 次，需要：

1. 从 $n$ 次试验中选出 $k$ 次成功的位置（$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 种方式）；
2. 选定的 $k$ 次试验均成功（概率 $p^k$）；
3. 剩余 $n-k$ 次试验均失败（概率 $q^{n-k}$）。 由独立性，三者相乘即得。

核心性质

编号	性质	数学表达 / 说明
1	取值范围	$X$ 的可能取值为 $\{0,1,2,\dots ,n\}$
2	概率质量函数	$b(k;n,p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$
3	归一性	${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1$（二项式定理）
4	期望值	$E(X)=np$
5	方差	$V(X)=npq=np(1-p)$
6	最可能值	使 $b(k;n,p)$ 最大的 $k$ 为 $\lfloor (n+1)p\rfloor$ 或 $\lceil (n+1)p\rceil -1$
7	可加性	若 $X\sim B(n_1,p)$，$Y\sim B(n_2,p)$ 且 $X,Y$ 独立，则 $X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$

关系网络

graph LR
    A["伯努利试验"] -->|"n 次独立重复"| B["二项分布"]
    B -->|"期望 E=np"| C["期望值"]
    B -->|"方差 V=npq"| D["方差"]
    B -->|"p→0, n→∞, λ=np"| E["泊松分布"]
    B -->|"n→∞"| F["正态近似"]
    B -->|"特例 n=1"| G["伯努利分布"]
    B -->|"特例 p=0.5"| H["对称二项分布"]
    A -->|"成功概率 p"| I["概率"]

章节扩展

• 泊松近似：当 $n$ 很大、$p$ 很小、$\lambda =np$ 适中时，二项分布可用泊松分布近似： $b(k;n,p)\approx \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$。
• 正态近似（De Moivre-Laplace 定理）：当 $n$ 较大时，$X$ 近似服从 $N(np,npq)$。
• 二项式定理的联系：二项分布的归一性直接来源于二项式定理 $(p+q{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}$。

补充

计算示例

某工厂产品合格率为 $p=0.95$，随机抽取 $n=10$ 件产品。 恰好有 $k=8$ 件合格的概率为：

$$b(8;10,0.95)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8}\right)(0.95{)}^8(0.05{)}^2=45\times 0.6634\times 0.0025\approx 0.0746$$

期望合格件数 $E(X)=10\times 0.95=9.5$ 件。

[!info] 二项分布的命名由来

二项分布的名称来源于二项式定理（Binomial Theorem）。 概率质量函数中的系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 正是二项展开式 $(p+q{)}^n$ 的系数， 因此该分布被称为”二项”分布。

参见

• 伯努利试验：二项分布的产生来源
• 概率分布：二项分布是一种离散概率分布
• 期望值：二项分布的期望为 $np$
• 方差：二项分布的方差为 $np(1-p)$
• 独立性：二项分布要求各次试验相互独立