伯努利试验

Abstract

伯努利试验（Bernoulli Trial）是只有两种可能结果（成功或失败）的随机试验。每次试验成功的概率为 $p$，失败的概率为 $1-p$（通常记为 $q$）。$n$ 次独立重复的伯努利试验是二项分布的产生基础，也是概率论中最基本、最重要的随机试验模型之一。

定义

伯努利试验

设一个随机试验只有两种可能的结果，分别称为成功（Success）和失败（Failure）。 若成功的概率为 $p$（$0<p<1$），则失败的概率为 $q=1-p$。 这样的试验称为一次伯努利试验。

独立重复伯努利试验 独立地重复进行 $n$ 次（各次试验的结果互不影响）， 则称这 $n$ 次试验为 $n$ 重伯努利试验（Bernoulli Trials）。

若将伯努利试验

独立性的含义：第 $i$ 次试验的结果不受之前任何试验结果的影响， 即对于任意 $i\ne j$，事件 $A_i$（第 $i$ 次成功）与事件 $A_j$（第 $j$ 次成功）相互独立。

核心性质

编号	性质	数学表达 / 说明
1	结果只有两种	每次试验的结果集合为 $\{S,F\}$（成功 / 失败）
2	概率恒定	每次成功的概率 $p$ 保持不变，$P(S)=p$，$P(F)=q=1-p$
3	独立性	各次试验的结果相互独立，$P(A_i\cap A_j)=P(A_i)\cdot P(A_j)$
4	二值指示变量	每次试验可用指示变量 $X_i$ 表示：成功时 $X_i=1$，失败时 $X_i=0$，则 $E[X_i]=p$
5	与二项分布的关系	$n$ 重伯努利试验中成功次数 $X={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 服从参数为 $(n,p)$ 的二项分布

关系网络

graph LR
    A["伯努利试验"] -->|"n 次独立重复"| B["二项分布"]
    A -->|"首次成功所需次数"| C["几何分布"]
    A -->|"基本要求"| D["独立性"]
    A -->|"成功概率"| E["概率 p"]
    B -->|"期望 E=np"| F["期望值"]
    B -->|"方差 V=npq"| G["方差"]
    D --> H["条件概率"]

章节扩展

• 二项分布：$n$ 重伯努利试验中恰好成功 $k$ 次的概率为 $b(k;n,p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k{q}^{n-k}$，详见 二项分布。
• 几何分布：在独立重复伯努利试验中，首次成功所需的试验次数服从几何分布。
• 大数定律：当 $n\to \infty$ 时，成功频率 $\frac{k}{n}$ 依概率收敛于 $p$，即 ${\lim }_{n\to \infty }P\left(\left|\frac{k}{n}-p\right|<\epsilon \right)=1$。

补充

生活类比

抛一枚硬币是最典型的伯努利试验：正面朝上为”成功”，反面朝上为”失败”。 若硬币是均匀的，则 $p=0.5$。 更一般的例子包括：产品质检（合格/不合格）、医疗检测（阳性/阴性）、 通信传输（正确/错误）等。

[!info] 伯努利试验的命名

该试验以瑞士数学家 雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli, 1654–1705） 命名。 他在著作 Ars Conjectandi（猜度术，1713年出版）中首次系统研究了 独立重复试验中成功次数的规律，为二项分布和大数定律奠定了基础。

参见

• 二项分布：$n$ 重伯努利试验中成功次数的概率分布
• 独立性：伯努利试验的核心前提条件
• 概率：伯努利试验中成功与失败概率的基本定义
• 条件概率：当试验不独立时，需要用条件概率描述依赖关系