广义二项式定理

Abstract

广义二项式定理（Extended Binomial Theorem）将经典二项式定理从正整数指数推广到任意实数指数：$(1+x{)}^u={\sum }_{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k})x^k$，其中 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k}\right)$ 为广义二项式系数。当 $u$ 为正整数时退化为普通二项式定理。广义二项式定理是生成函数中核心幂级数公式（如 $\frac{1}{(1-x{)}^n}$ 的展开）的推导基础。

定义

广义二项式系数（Extended Binomial Coefficient）

设 $u$ 为实数，$k$ 为非负整数。广义二项式系数定义为

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{u(u-1)(u-2)\cdots (u-k+1)}{k!},& \text{若 }k>0\\ 1,& \text{若 }k=0\end{array}$

分子是从 $u$ 开始递减的 $k$ 个因子的乘积（降阶乘），分母为 $k!$。当 $u$ 为正整数 $n$ 时，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 就是普通的二项式系数 $C(n,k)$；当 $k>n$ 时，分子中出现因子 $0$，故 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=0$。

负整数的广义二项式系数

当 $u$ 为负整数 $-n$ 时，有重要公式：

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{r}\right)=(-1{)}^{r}C(n+r-1,r)=(-1{)}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r}\right)$

推导： $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{r}\right)=\frac{(-n)(-n-1)\cdots (-n-r+1)}{r!}$ $=\frac{(-1{)}^r\cdot n(n+1)\cdots (n+r-1)}{r!}$ $=(-1{)}^r\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}=(-1{)}^{r}C(n+r-1,r)$

注意前面的 $(-1{)}^r$ 因子：$(1+x{)}^{-n}$ 的系数是交错符号的，而 $(1-x{)}^{-n}$ 的系数全部为正。

广义二项式定理（Extended Binomial Theorem / Theorem 2）

设 $x$ 为实数且 $|x|<1$，$u$ 为实数，则

$(1+x{)}^u={\sum }_{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k})x^k$

当 $u$ 为正整数时，广义二项式定理退化为普通的二项式定理（因为当 $k>u$ 时 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k}\right)=0$，级数自动截断为有限和）。

核心性质

编号	性质	公式	说明
1	基本定义	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k}\right)=\frac{u(u-1)\cdots (u-k+1)}{k!}$	降阶乘除以 $k!$
2	零值约定	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{0}\right)=1$	对所有实数 $u$ 成立
3	正整数退化	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=C(n,k)$（$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$）	退化为普通二项式系数
4	负整数公式	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{r}\right)=(-1{)}^{r}C(n+r-1,r)$	最常用的特殊情况
5	广义二项式定理	$(1+x{)}^u=\sum _{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k})x^k$	$
6	$(1-x{)}^{-n}$ 展开	$(1-x{)}^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }C(n+k-1,k)x^k$	生成函数核心公式
7	$(1+x{)}^{-n}$ 展开	$(1+x{)}^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^{k}C(n+k-1,k)x^k$	系数交错符号
8	$(1-ax{)}^{-n}$ 展开	$(1-ax{)}^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }C(n+k-1,k)a^k{x}^k$	引入比例因子 $a$

关系网络

graph LR
    A["广义二项式定理"] -->|"推广自"| B["[[离散数学/concepts/二项式定理]]"]
    A -->|"定义"| C["广义二项式系数<br/>binom(u, k)"]
    A -->|"推导核心公式"| D["[[离散数学/concepts/生成函数]]"]
    A -->|"展开系数"| E["[[离散数学/concepts/二项式系数]]"]

    C -->|"正整数退化"| E
    C -->|"负整数特例"| F["binom(-n, r)<br/>= (-1)^r C(n+r-1, r)"]

    D -->|"核心公式"| G["1/(1-x)^n<br/>= Σ C(n+k-1,k) x^k"]
    D -->|"核心公式"| H["1/(1+x)^n<br/>= Σ (-1)^k C(n+k-1,k) x^k"]

    B -->|"u 为正整数时"| A

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章节扩展

第08章 高级计数技术 — 8.4 生成函数

广义二项式定理是 8.4 节中生成函数理论的核心推导工具：

与常生成函数核心公式的联系

广义二项式定理直接推导出生成函数中最重要的一组公式：

推导 $(1-x{)}^{-n}$ 的展开： $(1-x{)}^{-n}={\sum }_{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})(-x{)}^k={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\cdot (-1{)}^{k}C(n+k-1,k)x^k={\sum }_{k=0}^{\infty }C(n+k-1,k)x^k$

推导 $(1+x{)}^{-n}$ 的展开： $(1+x{)}^{-n}={\sum }_{k=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})x^k={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^{k}C(n+k-1,k)x^k$

这两个公式是生成函数方法中提取系数的基础，广泛应用于组合计数和递推关系求解。

应用实例

实例1：广义二项式系数的计算

• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{3}\right)=\frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}=\frac{-24}{6}=-4$
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{3}\right)=\frac{(1/2)(1/2-1)(1/2-2)}{3!}=\frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{6}=\frac{3/8}{6}=\frac{1}{16}$

实例2：推导允许重复的组合数公式 从 $n$ 个元素中选 $r$ 个（允许重复）的组合数，其生成函数为 $G(x)=(1-x{)}^{-n}$。由广义二项式定理，$x^r$ 的系数为 $C(n+r-1,r)$，这与第6章 Theorem 2 的结论一致。

实例3：推导至少选一个的组合数 每种物品至少选 1 个的生成函数为 $G(x)=(x/(1-x){)}^n=x^n(1-x{)}^{-n}$。由广义二项式定理，$x^r$ 的系数为 $C(r-1,n-1)$。

补充

广义二项式系数的符号规律

广义二项式系数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{k}\right)$ 的符号取决于 $u$ 的值：

• 当 $u$ 为正整数时，所有系数非负（普通二项式系数）
• 当 $u$ 为负整数 $-n$ 时，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{r}\right)=(-1{)}^{r}C(n+r-1,r)$，符号由 $(-1{)}^r$ 决定
• 当 $u$ 为非整数时，系数的符号规律更复杂，取决于 $u$ 的具体值

这意味着 $(1+x{)}^{-n}$ 的展开系数是交错符号的：$1-C(n,1)x+C(n+1,2)x^2-\cdots$，而 $(1-x{)}^{-n}$ 的展开系数全部为正：$1+C(n,1)x+C(n+1,2)x^2+\cdots$。在生成函数的应用中，$(1-x{)}^{-n}$ 更为常用。

广义二项式定理与 Newton 二项式级数

广义二项式定理也称为 Newton 二项式级数（Newton’s Binomial Series），由 Isaac Newton 于 1665 年发现。Newton 在研究流数术（微积分的前身）时，尝试将 $(1+x{)}^{1/2}$ 展开为无穷级数，从而发现了这个对任意实数指数都成立的公式。这一发现比正整数指数的二项式定理晚了数百年，但极大地拓展了二项式定理的适用范围。

参见

• 生成函数 — 广义二项式定理的主要应用场景
• 二项式定理 — 广义二项式定理的正整数特例
• 二项式系数 — 广义二项式系数在正整数时的退化形式