二项式定理

Abstract

二项式定理（Binomial Theorem）给出了二项式 $(x + y)^{n}$ 展开后的系数公式：

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k} y^{k}$

其中 $(k n)$ 是二项式系数（即组合数 $C (n, k)$ ）。该定理建立了代数与组合之间的桥梁：展开式中 $x^{n - k} y^{k}$ 的系数恰好等于从 $n$ 个因子中选 $k$ 个取 $y$ 的方式数。通过给变量赋特殊值，可以推导出一系列重要的排列组合恒等式。

定义

二项式定理（Binomial Theorem）

对于任意正整数 $n$ 和实数（或复数） $x, y$ ：

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k} y^{k}$

展开式共 $n + 1$ 项，第 $k + 1$ 项（ $k$ 从 $0$ 开始）为 $(k n) x^{n - k} y^{k}$ 。

组合解释： $(x + y)^{n}$ 是 $n$ 个 $(x + y)$ 因子的乘积。展开时，每个因子贡献一个 $x$ 或一个 $y$ 。 $x^{n - k} y^{k}$ 项对应”从 $n$ 个因子中选 $k$ 个取 $y$ （其余取 $x$ )“，方式数为 $(k n)$ 。

二项式定理的等价形式

令 $k^{'} = n - k$ ，定理也可写为：

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{k} y^{n - k}$

两种形式等价，由二项式系数的对称性 $(k n) = (n - k n)$ 保证。

核心性质

编号	性质	公式	说明
1	基本展开	$(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{n - k} y^{k}$	二项式定理的标准形式
2	全子集求和推论	$k = 0 \sum n (k n) = 2^{n}$	令 $x = y = 1$
3	交替求和推论	$k = 0 \sum n (- 1)^{k} (k n) = 0 (n \geq 1)$	令 $x = 1, y = - 1$
4	加权求和推论	$k = 0 \sum n (k n) 2^{k} = 3^{n}$	令 $x = 1, y = 2$
5	二次幂求和	$k = 0 \sum n (k n)^{2} = (n 2 n)$	$(1 + x)^{n} (1 + x)^{n} = (1 + x)^{2 n}$ 中 $x^{n}$ 的系数
6	项数	展开式共 $n + 1$ 项	从 $k = 0$ 到 $k = n$

关系网络

graph LR
    A["二项式定理"] -->|"展开系数"| B["[[二项式系数]]"]
    A -->|"组合解释"| C["[[组合]]"]
    A -->|"推论"| D["全子集求和 2^n"]
    A -->|"推论"| E["交替求和 = 0"]
    A -->|"推论"| F["加权求和"]
    A -->|"可视化"| G["[[帕斯卡三角形]]"]
    A -->|"应用"| H["[[排列组合恒等式]]"]
    B -->|"满足"| I["帕斯卡恒等式"]
    G -->|"构造基于"| I

章节扩展

重要推论的推导

推论 1：全子集求和

推导过程

在二项式定理中令 $x = y = 1$ ：

$(1 + 1)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) \cdot 1^{n - k} \cdot 1^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (k n)$

因此 $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ 。

组合意义： $n$ 元素集合的所有子集总数为 $2^{n}$ （每个元素有”在/不在”两种选择）。

推论 2：交替求和

推导过程

在二项式定理中令 $x = 1, y = - 1$ ：

$(1 - 1)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) \cdot 1^{n - k} \cdot (- 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (k n)$

当 $n \geq 1$ 时， $(1 - 1)^{n} = 0$ ，因此 $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (k n) = 0$ 。

组合意义：偶数大小子集数等于奇数大小子集数。

推论 3： $\sum_{k = 0}^{n} (k n)^{2} = (n 2 n)$

推导过程

考虑 $(1 + x)^{n} \cdot (1 + x)^{n} = (1 + x)^{2 n}$ ：

左边展开式中 $x^{n}$ 的系数为 $\sum_{k = 0}^{n} (k n) (n - k n) = \sum_{k = 0}^{n} (k n)^{2}$

右边展开式中 $x^{n}$ 的系数为 $(n 2 n)$

两者相等，恒等式得证。这也是二项式系数中范德蒙德恒等式当 $m = n = r$ 时的特例。

补充

二项式定理的数学归纳法证明

基础步： $n = 1$ 时， $(x + y)^{1} = (0 1) x + (1 1) y = x + y$ ，成立。

归纳步：假设 $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k} y^{k}$ 成立，则：

$(x + y)^{n + 1} = (x + y) \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k} y^{k}$

$= \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n + 1 - k} y^{k} + \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k} y^{k + 1}$

对第二个求和令 $j = k + 1$ ，合并后利用帕斯卡恒等式 $(k n) + (k - 1 n) = (k n + 1)$ ，即可得到 $(x + y)^{n + 1}$ 的展开式。

二项式定理的应用举例

计算近似值： $(1 + 0.01)^{10} \approx 1 + (1 10) (0.01) = 1.1$ （一阶近似）

证明整除性： $2^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n)$ ，因此 $2^{n} - 2 = \sum_{k = 1}^{n - 1} (k n)$ 是偶数（ $n \geq 2$ 时）

概率论：二项分布 $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ 正是 $(p + (1 - p))^{n} = 1$ 展开式的各项

参见

二项式系数 —— 展开式中各项的系数
帕斯卡三角形 —— 二项式系数的三角形排列
组合 —— 二项式系数的组合意义
排列组合恒等式 —— 由二项式定理推导的恒等式
排列 —— 与组合数的关系

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