10.3 全称量词与存在量词

相关笔记： 10.2 单称命题 | 10.4 传统主谓命题

概览

本节系统介绍谓词逻辑的两大核心量词——全称量词 $\forall$ 和存在量词 $\exists$，并建立量化陈述的符号化方法。核心知识点包括：

• 全称量词 $(x)$：表示”给定任何 $x$“或”对所有 $x$“，将命题函项转化为全称命题
• 存在量词 $(\exists x)$：表示”至少存在这样一个 $x$“，将命题函项转化为存在命题
• 量化陈述的符号化：全称量词与蕴涵的关系、存在量词与合取的关系
• 自由变元 vs 约束变元：区分被量词绑定的变元和未被绑定的变元
• 量化否定等价式：四个逻辑真的双条件陈述，揭示全称量词与存在量词的相互关系
• 量化对当方阵：全称量化与存在量化之间的反对、下反对、矛盾和差等关系

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一、知识结构总览

graph TB
    A["10.3 全称量词与存在量词<br/>Universal & Existential Quantifiers"] --> B["全称量词 (x)"]
    A --> C["存在量词 (∃x)"]
    A --> D["自由变元与约束变元"]
    A --> E["量化否定等价式"]
    A --> F["量化对当方阵"]

    B --> B1["含义：给定任何x<br/>对所有x"]
    B --> B2["符号化：(x)Mx<br/>所有事物都是有死的"]
    B --> B3["真值条件：所有代入例<br/>都为真"]
    B --> B4["与蕴涵的关系<br/>全称命题用⊃"]

    C --> C1["含义：至少存在一个x<br/>存在某个x"]
    C --> C2["符号化：(∃x)Bx<br/>有的事物是美丽的"]
    C --> C3["真值条件：至少有一个<br/>代入例为真"]
    C --> C4["与合取的关系<br/>存在命题用·"]

    D --> D1["约束变元<br/>被量词绑定的变元"]
    D --> D2["自由变元<br/>未被量词绑定的变元"]
    D --> D3["同一变元可同时<br/>自由出现和约束出现"]

    E --> E1["∼(x)φx ≡ (∃x)∼φx<br/>否定全称=存在否定"]
    E --> E2["∼(∃x)φx ≡ (x)∼φx<br/>否定存在=全称否定"]
    E --> E3["(x)φx ≡ ∼(∃x)∼φx<br/>全称=不存在否定"]
    E --> E4["(∃x)φx ≡ ∼(x)∼φx<br/>存在=不全称否定"]

    F --> F1["顶端：反对关系<br/>可同假不可同真"]
    F --> F2["底端：下反对关系<br/>可同真不可同假"]
    F --> F3["对角线：矛盾关系<br/>一真一必假"]
    F --> F4["每侧：差等关系<br/>上真则下必真"]

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二、核心思想与证明技巧

核心思想

量词是谓词逻辑的灵魂。全称量词 $(x)$ 和存在量词 $(\exists x)$ 提供了两种将命题函项转化为命题的方法——通过量化（概括）而非代入（例举）。四个量化否定等价式揭示了全称量词和存在量词之间的深刻对称关系：否定一个全称命题等价于断言存在一个反例；否定一个存在命题等价于断言所有个体都不满足条件。这一对称性是谓词逻辑中最优美、最重要的结果之一。

全称量词

全称量词（Universal Quantifier）

全称量词用符号 $(x)$ 表示（也写作 $\forall x$），意为”给定任何 $x$“或”对所有 $x$“。将全称量词放在命题函项前面，就得到一个全称命题（universal proposition）。

从自然语言到符号化的推导过程：

以”每个事物都是有死的”为例：

步骤	自然语言表达	说明
1	每个事物都是有死的	原始表达
2	给定任一个体事物，它都是有死的	引入”给定任一”的表述
3	给定任何 $x$，$x$ 是有死的	用个体变元 $x$ 替代代词”它”及其先行词”事物”
4	给定任何 $x$，$Mx$	用谓述符号 $M$ 替代”是有死的”
5	$(x)Mx$	用全称量词 $(x)$ 替代”给定任何 $x$”

真值条件： 一个命题函项的全称量化式 $(x)Mx$ 为真，当且仅当它的所有代入例都为真。这正是”普遍性”的意义之所在。

全称量词与蕴涵的关系

当全称命题涉及条件限制时（如”所有人都是有死的”而非”所有事物都是有死的”），需要使用蕴涵 $\supset$ 来连接条件：

• “所有人都是有死的” = “对于所有 $x$，如果 $x$ 是人，则 $x$ 是有死的”
• 符号化：$(x)(Hx\supset Mx)$

这里使用蕴涵而非合取是关键：$(x)(Hx\supset Mx)$ 说的是”凡是人的东西都是有死的”，而 $(x)(Hx\cdot Mx)$ 说的是”所有东西都是人且都是有死的”——后者明显是错误的。全称量化对应蕴涵，这是一个必须牢记的规则。

存在量词

存在量词（Existential Quantifier）

存在量词用符号 $(\exists x)$ 表示（也写作 $\exists x$），意为”至少存在这样一个 $x$“或”存在某个 $x$“。将存在量词放在命题函项前面，就得到一个存在命题（existential proposition）。

从自然语言到符号化的推导过程：

以”有些事物是漂亮的”为例：

步骤	自然语言表达	说明
1	有些事物是漂亮的	原始表达
2	至少存在这样一个事物，它是漂亮的	引入”至少存在”的表述
3	至少存在这样一个 $x$，它是漂亮的	用个体变元 $x$ 替代代词
4	至少存在这样一个 $x$，$Bx$	用谓述符号 $B$ 替代”是漂亮的”
5	$(\exists x)Bx$	用存在量词 $(\exists x)$ 替代”至少存在这样一个 $x$”

真值条件： 一个命题函项的存在量化式 $(\exists x)Bx$ 为真，当且仅当它至少有一个真代入例。

存在量词与合取的关系

当存在命题涉及条件限制时（如”有些人是有死的”），需要使用合取 $\cdot$ 来连接条件：

• “有些人是有死的” = “存在至少一个 $x$，$x$ 是人且 $x$ 是有死的”
• 符号化：$(\exists x)(Hx\cdot Mx)$

这里使用合取而非蕴涵是关键：$(\exists x)(Hx\cdot Mx)$ 说的是”存在至少一个东西，它既是人又是有死的”，而 $(\exists x)(Hx\supset Mx)$ 说的是”存在至少一个东西，如果它是人则它是有死的”——后者几乎总是真的（因为对于任何非人的东西，$Hx\supset Mx$ 都为真）。存在量化对应合取，这与全称量化对应蕴涵形成对照。

自由变元与约束变元

约束变元（Bound Variable）

约束变元是被量词绑定的变元。在 $(x)Fx$ 中，$x$ 出现在全称量词 $(x)$ 的管辖范围内，因此是约束变元。在 $(\exists x)Gx$ 中，$x$ 出现在存在量词 $(\exists x)$ 的管辖范围内，因此也是约束变元。

自由变元（Free Variable）

自由变元是未被任何量词绑定的变元。在表达式 $Fx$ 中，$x$ 没有被任何量词约束，因此是自由变元。含有自由变元的表达式是命题函项而非命题。

关键区分：

表达式	变元状态	是命题吗？
$Fx$	$x$ 是自由变元	否（命题函项）
$(x)Fx$	$x$ 是约束变元	是（全称命题）
$(\exists x)Fx$	$x$ 是约束变元	是（存在命题）
$Fx\cdot Gy$	$x,y$ 都是自由变元	否（命题函项）
$(x)Fx\cdot Gy$	$x$ 约束，$y$ 自由	否（仍含自由变元 $y$）

命题生成的两种方式（总结）

从命题函项生成命题有两种方式：

1. 例举方法（ instantiation）：用个体常元代入个体变元，如 $Fx\to Fa$
2. 概括方法（generalization / quantification）：在命题函项前面放一个全称量词或存在量词，如 $Fx\to (x)Fx$ 或 $Fx\to (\exists x)Fx$

量化否定等价式

量化否定等价式（Quantifier Negation Equivalences）

量化否定等价式是四个逻辑真的双条件陈述，揭示了全称量词和存在量词之间的相互关系。用 $\phi x$ 代表任何一个简单谓词，这四个等价式为：

$\sim (x)\phi x\equiv (\exists x)\sim \phi x$

$\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$

$(x)\phi x\equiv \sim (\exists x)\sim \phi x$

$(\exists x)\phi x\equiv \sim (x)\sim \phi x$

逐一解释：

第一式： $\sim (x)\phi x\equiv (\exists x)\sim \phi x$

“并非所有 $x$ 都是 $\phi$” 等价于 “存在至少一个 $x$ 不是 $\phi$”

例：$\sim (x)Mx\equiv (\exists x)\sim Mx$——“并非所有事物都是有死的” 等价于 “有些事物不是有死的”

第二式： $\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$

“不存在 $x$ 是 $\phi$” 等价于 “所有 $x$ 都不是 $\phi$”

例：$\sim (\exists x)Px\equiv (x)\sim Px$——“没有任何事物是完美的” 等价于 “所有事物都是不完美的”

第三式： $(x)\phi x\equiv \sim (\exists x)\sim \phi x$

“所有 $x$ 都是 $\phi$” 等价于 “不存在 $x$ 不是 $\phi$”

例：$(x)Mx\equiv \sim (\exists x)\sim Mx$——“所有事物都是有死的” 等价于 “不存在任何不是有死的事物”

第四式： $(\exists x)\phi x\equiv \sim (x)\sim \phi x$

“存在 $x$ 是 $\phi$” 等价于 “并非所有 $x$ 都不是 $\phi$”

例：$(\exists x)Mx\equiv \sim (x)\sim Mx$——“有些事物是有死的” 等价于 “并非所有事物都不是有死的”

量化否定等价式的记忆技巧

这四个等价式的核心规律可以概括为两条规则：

1. 否定穿过量词时，量词要”翻转”：$\sim \forall \to \exists \sim$，$\sim \exists \to \forall \sim$
2. 连续两次翻转回到原点：$\sim \forall \sim \to \exists$，$\sim \exists \sim \to \forall$

直觉理解：说”不是所有人都及格了”（$\sim \forall$），就等于说”有人没及格”（$\exists \sim$）——否定全称等于存在否定。说”没有人及格”（$\sim \exists$），就等于说”所有人都没及格”（$\forall \sim$）——否定存在等于全称否定。

量化对当方阵

量化对当方阵（Quantification Square of Opposition）

假定至少存在一个个体，全称量化和存在量化之间的关系可以用对当方阵来描述。方阵的四个角分别是：

$$\begin{array}{ccccc}(x)\phi x& \text{（所有 }x\text{ 都是 }\phi \text{）}& \text{与}& (x)\sim \phi x& \text{（所有 }x\text{ 都不是 }\phi \text{）}\\ (\exists x)\phi x& \text{（有些 }x\text{ 是 }\phi \text{）}& \text{与}& (\exists x)\sim \phi x& \text{（有些 }x\text{ 不是 }\phi \text{）}\end{array}$$

方阵中的四种关系：

关系	位置	规则	示例
反对关系	顶端两个命题	可同假，不可同真	$(x)Mx$ 与 $(x)\sim Mx$
下反对关系	底端两个命题	可同真，不可同假	$(\exists x)Mx$ 与 $(\exists x)\sim Mx$
矛盾关系	对角线两端	一真一必假，一假一必真	$(x)Mx$ 与 $(\exists x)\sim Mx$
差等关系	每侧上下	上真则下必真	$(x)Mx\to (\exists x)Mx$

存在含义假定

上述对当方阵中的某些关系（特别是差等关系”上真则下必真”）依赖于至少存在一个个体的假定。如果论域为空（没有任何个体），则 $(x)Mx$ 为真（空真），但 $(\exists x)Mx$ 为假（不存在任何满足条件的个体），此时差等关系不成立。本章余下部分假定至少存在一个个体。

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三、补充理解与易混淆点

补充理解

补充1：量词否定等价式的哲学意义

来源： Quine, W.V.O. (1948). On What There Is. Review of Metaphysics, 2(5), 21-38.

威拉德-范-奥曼-奎因（W.V.O. Quine）在其著名论文《论何物存在》（On What There Is）中深入探讨了量词否定等价式的哲学意涵。奎因的核心论点是：==存在量词 $\exists$ 是我们谈论”何物存在”的唯一合法手段==。

奎因的本体论承诺标准：

• 一个理论的本体论承诺（即它声称存在什么）完全由该理论中存在量词所约束的变元的取值范围决定
• 要判断一个理论承诺了什么存在，只需问：“根据这个理论，什么必须是真的？“——然后看哪些东西必须落入存在量词的管辖范围

量化否定等价式的哲学意义：

1. “不存在”的意义：$\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$ 告诉我们，说”不存在具有属性 $\phi$ 的东西”等同于说”所有东西都不具有属性 $\phi$”。“不存在”不是一种神秘的状态，而是全称否定的简写

2. 否定存在的意义：$\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$ 进一步意味着，否定某物存在（“飞马不存在”）不是说”飞马”这个对象具有”不存在”的属性，而是说”对于所有 $x$，$x$ 不是飞马”——否定存在是全称否定，而非对某个"非存在对象"的谓述

3. 本体论的节俭性：奎因主张我们不应不必要地增加本体论承诺。量化否定等价式支持这一原则：说”不存在独角兽” $(\sim (\exists x)Ux)$ 不需要假设”独角兽”以某种方式”存在”，只需说”所有东西都不是独角兽” $((x)\sim Ux)$

奎因的这一分析深刻影响了20世纪分析哲学中关于本体论的讨论，被称为奎因标准（Quine’s Criterion of Ontological Commitment）。

补充2：自由变元与约束变元的区别在编程语言中的体现

来源： Church, A. (1940). A Formulation of the Simple Theory of Types. Journal of Symbolic Logic, 5(2), 56-68.

阿隆佐-丘奇（Alonzo Church）在发展 $\lambda$-演算（lambda calculus）和类型论的过程中，深入研究了变元的绑定机制。自由变元与约束变元的区分不仅是逻辑学中的核心概念，也是计算机科学中程序设计语言理论的基础：

逻辑学中的对应：

逻辑学概念	编程语言对应	示例
自由变元	自由变量 / 全局变量	函数中引用的外部变量
约束变元	绑定变量 / 局部变量	函数参数、循环变量
量词	变量绑定构造	$\forall x$ 类似 for-all 循环
命题函项	函数（带参数的表达式）	$Fx$ 类似 f(x)
命题	常量表达式（可求值）	$Fa$ 类似 f(a)

具体类比：

• 在逻辑中，$(x)(Fx\supset Gx)$ 中的 $x$ 是约束变元，类似于编程中 for x in domain: if F(x) then G(x) 里的循环变量 $x$——它的作用域被 for 限定
• 在逻辑中，$Fx\cdot Gy$ 中的 $x$ 和 $y$ 是自由变元，类似于编程中引用了未定义的变量——这个表达式无法求值，除非 $x$ 和 $y$ 被赋予具体的值
• 在逻辑中，$(x)Fx\cdot Gy$ 中 $x$ 是约束的但 $y$ 是自由的，类似于 for x in domain: F(x) 与 G(y) 的合取——前者可以执行，但后者仍然需要一个 $y$ 的值

丘奇的 $\lambda$-演算为这一对应关系提供了精确的数学框架：$\lambda x.M$ 中的 $x$ 是约束变元，$M$ 中未被 $\lambda$ 绑定的变元是自由变元。这一框架后来成为 LISP、Haskell、Python 等编程语言中匿名函数（lambda 表达式）的理论基础。

易混淆点

误区：全称量词用合取，存在量词用蕴涵

❌ 错误理解： “所有人都是有死的”应该符号化为 $(x)(Hx\cdot Mx)$，“有些人是有死的”应该符号化为 $(\exists x)(Hx\supset Mx)$。 ✅ 正确理解： ==全称量词搭配蕴涵 $\supset$，存在量词搭配合取 $\cdot$==。“所有人都是有死的”正确符号化为 $(x)(Hx\supset Mx)$，“有些人是有死的”正确符号化为 $(\exists x)(Hx\cdot Mx)$。 辨析：

• $(x)(Hx\supset Mx)$ 说的是”对于任何东西，如果它是人，则它是有死的”——这正是”所有人都是有死的”的含义
• $(x)(Hx\cdot Mx)$ 说的是”对于任何东西，它既是人又是有死的”——这意味着所有东西都是人，明显错误
• $(\exists x)(Hx\cdot Mx)$ 说的是”存在至少一个东西，它既是人又是有死的”——这正是”有些人是有死的”的含义
• $(\exists x)(Hx\supset Mx)$ 说的是”存在至少一个东西，如果它是人则它是有死的”——对于任何非人的东西（如一块石头），$Hx\supset Mx$ 为真（因为前件为假），所以这个命题几乎总是平凡地为真，完全不是”有些人是有死的”的意思

记忆口诀： “全称用蕴涵（$\forall \to \supset$），存在用合取（$\exists \to \cdot$）”

误区：自由变元 = 约束变元

❌ 错误理解： 变元就是变元，无论是否被量词约束，都是一样的。 ✅ 正确理解： 自由变元和约束变元有本质区别。自由变元是”真正的变量”——它是一个占位符，等待被赋值，含有自由变元的表达式不是命题。约束变元是”被量词绑定的哑变量”——它类似于积分中的哑变量 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 中的 $x$，其具体名称不重要，$(x)Fx$ 和 $(y)Fy$ 表达的是同一个命题。 辨析：

• 自由变元出现在命题函项中，使命题函项成为”待填充的模板”。$Fx$ 中的 $x$ 是自由的——代入不同的常元得到不同的命题
• 约束变元出现在量化命题中，被量词”捕获”。$(x)Fx$ 中的 $x$ 是约束的——它的作用类似于”对于每一个东西”中的”东西”这个词，是一个语法上的占位符，不影响命题的含义
• 同一变元可以同时自由出现和约束出现：在 $(x)Fx\cdot Gx$ 中，第一个 $x$ 是约束的（被 $(x)$ 绑定），第二个 $x$ 是自由的（不在任何量词的管辖范围内）。这个表达式仍然含有自由变元，因此不是命题
• 换名规则：约束变元可以统一替换为另一个变元而不改变命题的含义。$(x)Fx\equiv (y)Fy$，但 $Fx\not\equiv Fy$（后者有不同的自由变元）

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四、习题精选

习题概览

题号	核心考点	难度
1	将量化陈述符号化为谓词逻辑表达式	⭐⭐
2	运用量化否定等价式进行等价变换	⭐⭐⭐
3	综合运用：对当方阵中的关系判断	⭐⭐⭐

题1：将量化陈述符号化

题目

使用以下符号化约定，将下列自然语言命题符号化为谓词逻辑表达式：

个体变元：$x$

谓述符号：$H$ = 是人，$M$ = 是有死的，$B$ = 是美丽的，$P$ = 是完美的，$S$ = 是学生

(a) 所有人都是有死的。 (b) 有些人是有死的。 (c) 没有人是完美的。 (d) 有些事物不是有死的。 (e) 所有事物都是不完美的。 (f) 有些学生是美丽的。

解答

[步骤1] 逐题分析：

(a) 所有人都是有死的。

• 全称命题，涉及条件限制”人”，使用蕴涵
• 符号化：$(x)(Hx\supset Mx)$

(b) 有些人是有死的。

• 存在命题，涉及条件限制”人”，使用合取
• 符号化：$(\exists x)(Hx\cdot Mx)$

(c) 没有人是完美的。

• “没有” = “不存在”，否定存在
• 符号化：$\sim (\exists x)(Hx\cdot Px)$
• 等价形式：$(x)(Hx\supset \sim Px)$（所有人都是不完美的）

(d) 有些事物不是有死的。

• 存在命题，否定属性
• 符号化：$(\exists x)\sim Mx$

(e) 所有事物都是不完美的。

• 全称命题，无条件限制
• 符号化：$(x)\sim Px$

(f) 有些学生是美丽的。

• 存在命题，涉及条件限制”学生”，使用合取
• 符号化：$(\exists x)(Sx\cdot Bx)$

$■$

题2：运用量化否定等价式进行等价变换

题目

使用量化否定等价式，将下列表达式转化为等价但量词前面没有否定符的形式：

(a) $\sim (x)(Hx\supset Mx)$ (b) $\sim (\exists x)(Sx\cdot Bx)$ (c) $\sim (x)\sim Px$ (d) $\sim (\exists x)\sim Mx$

解答

[步骤1] 逐题分析：

(a) $\sim (x)(Hx\supset Mx)$

• 应用第一式：$\sim (x)\phi x\equiv (\exists x)\sim \phi x$
• 令 $\phi x=(Hx\supset Mx)$
• 结果：$(\exists x)\sim (Hx\supset Mx)$
• 进一步化简：$\sim (Hx\supset Mx)\equiv \sim (\sim Hx\vee Mx)\equiv Hx\cdot \sim Mx$
• 最终等价形式：$(\exists x)(Hx\cdot \sim Mx)$
• 含义：“存在至少一个人不是有死的”——这正是”并非所有人都是有死的”的含义

(b) $\sim (\exists x)(Sx\cdot Bx)$

• 应用第二式：$\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$
• 令 $\phi x=(Sx\cdot Bx)$
• 结果：$(x)\sim (Sx\cdot Bx)$
• 进一步化简：$\sim (Sx\cdot Bx)\equiv \sim Sx\vee \sim Bx\equiv Sx\supset \sim Bx$
• 最终等价形式：$(x)(Sx\supset \sim Bx)$
• 含义：“所有学生都不是美丽的”——这正是”不存在美丽的学生”的含义

(c) $\sim (x)\sim Px$

• 应用第一式：$\sim (x)\phi x\equiv (\exists x)\sim \phi x$
• 令 $\phi x=\sim Px$
• 结果：$(\exists x)\sim (\sim Px)$
• 进一步化简：$\sim (\sim Px)\equiv Px$
• 最终等价形式：$(\exists x)Px$
• 含义：“存在完美的事物”——这正是”并非所有事物都是不完美的”的含义

(d) $\sim (\exists x)\sim Mx$

• 应用第二式：$\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$
• 令 $\phi x=\sim Mx$
• 结果：$(x)\sim (\sim Mx)$
• 进一步化简：$\sim (\sim Mx)\equiv Mx$
• 最终等价形式：$(x)Mx$
• 含义：“所有事物都是有死的”——这正是”不存在不是有死的事物”的含义

$■$

题3：综合运用——对当方阵中的关系判断

题目

设 $\phi x$ 为任意简单谓词，并假定至少存在一个个体。判断以下命题对之间的关系（反对、下反对、矛盾、差等），并说明理由。

(a) $(x)\phi x$ 与 $(\exists x)\sim \phi x$ (b) $(\exists x)\phi x$ 与 $(\exists x)\sim \phi x$ (c) $(x)\sim \phi x$ 与 $(\exists x)\phi x$ (d) $(x)\phi x$ 与 $(\exists x)\phi x$

解答

[步骤1] 逐题分析：

(a) $(x)\phi x$ 与 $(\exists x)\sim \phi x$

• 根据量化否定等价式第一式：$\sim (x)\phi x\equiv (\exists x)\sim \phi x$
• 因此 $(\exists x)\sim \phi x$ 正是 $(x)\phi x$ 的否定
• 矛盾关系：一个为真则另一个必为假，反之亦然

(b) $(\exists x)\phi x$ 与 $(\exists x)\sim \phi x$

• 这两个命题可以同时为真：如果有些个体满足 $\phi$，有些不满足，则两者皆真
• 它们不能同时为假：如果 $(\exists x)\phi x$ 为假，则 $(x)\sim \phi x$ 为真，从而 $(\exists x)\sim \phi x$ 为真
• 下反对关系：可同真，不可同假

(c) $(x)\sim \phi x$ 与 $(\exists x)\phi x$

• 根据量化否定等价式第二式：$\sim (\exists x)\phi x\equiv (x)\sim \phi x$
• 因此 $(x)\sim \phi x$ 正是 $(\exists x)\phi x$ 的否定
• 矛盾关系：一个为真则另一个必为假，反之亦然

(d) $(x)\phi x$ 与 $(\exists x)\phi x$

• 如果 $(x)\phi x$ 为真（所有个体都满足 $\phi$），且至少存在一个个体，则 $(\exists x)\phi x$ 也为真
• 但 $(\exists x)\phi x$ 为真时，$(x)\phi x$ 不一定为真（可能只有部分个体满足 $\phi$）
• 差等关系：上真则下必真，下真时上不一定真

$■$

解题思路提示

符号化量化陈述的四步法：

1. 确定量化类型：是”所有”（全称）还是”有些/存在”（存在）？
2. 选择联结词：全称用蕴涵 $\supset$，存在用合取 $\cdot$——这是最容易出错的地方
3. 处理否定：注意否定词的位置。“没有” = $\sim \exists$，“不都是” = $\sim \forall$
4. 利用等价式化简：如果量词前有否定符，可以用量化否定等价式将其移入量词之后，使表达式更清晰

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五、视频学习指南

视频资源

资源	链接	对应内容	备注
Wireless Philosophy: Quantifiers	链接	全称量词与存在量词	英文，入门级
The Logic of Quantified Statements	链接	量化否定等价式	英文，配合动画
MIT OCW: Mathematics for Computer Science	链接	谓词逻辑与量化	英文，MIT课程

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六、教材原文

教材原文

来源： 逻辑学导论 第15版，第10章第3节

全称量词： “每个事物都是有死的”，可以将其表达为”所有事物都是有死的”，或者”给定任一个体事物，它都是有死的”。用字母x，即个体变元，代替代词”它”及其先行词，我们可以把第一个普遍命题重写为：“给定任何x，x是有死的。“用谓述符号，我们也可以写成：“给定任何x，Mx。“短语”给定任何x”习惯上用符号”(x)“表示，称为全称量词。上述第一个普遍命题可以完全符号化为：(x)Mx。

存在量词： “有些事物是漂亮的”，也可以表达成：“至少存在这样一个事物，它是漂亮的。“用个体变元x代替代词”它”及其先行词，我们可以把这种普遍命题重写为：“至少存在这样一个x，它是漂亮的。“短语”至少存在这样一个x”习惯上用符号”(∃x)“表示，称为存在量词。第二种普遍命题可以完全符号化为：(∃x)Bx。

量化的两种方式： 命题可以用例举方法从命题函项生成，即通过用个体常元代入个体变元，或者可以用概括方法生成，即在命题函项的前面放一个全称量词或存在量词。

真值条件： 一个命题函项的全称量化式(x)Mx为真，当且仅当，它的所有代入例都为真。一个命题函项的存在量化式(∃x)Mx为真，当且仅当，它至少有一个真代入例。

量化否定等价式： (x)Mx被(∃x)～Mx否定。“每个事物都是有死的”正好表示了”不存在任何不是有死的事物”所表示的东西。(x)～Mx被(∃x)Mx否定。“每个事物都不是有死的”正好表示了”不存在任何有死的事物”所表示的东西。

对当方阵： 顶端的两个命题是反对关系；就是说，它们可以同时为假，但不能同时为真。底端的两个命题是下反对关系；就是说，它们可以同时为真，但不能同时为假。对角线相反两端的命题是矛盾关系；它们中一个为真，则另一个必定为假。在方阵的每侧，下面命题的真被它正上方命题的真蕴涵。

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参见 Wiki

• 有效性 — 论证有效性的定义，量化理论扩展了有效性的判定范围
• 自然演绎 — 19条推论规则，在谓词逻辑中完全保留并扩展使用
• 逻辑等价 — 逻辑等价的定义，量化否定等价式是谓词逻辑中的基本等价式
• 传统对当方阵 — 传统逻辑中的对当方阵，与量化对当方阵的对比
• 10.2 单称命题 — 单称命题的符号化，是量化陈述的基础
• 10.4 传统主谓命题 — 传统A、E、I、O命题的量化符号化
• 命题 — 命题的定义，量化将命题函项转化为命题

谓词逻辑