重言式与矛盾式

概述

重言式、矛盾式和偶真式是根据真值表最后一列的真值分布，对陈述形式（statement form）进行的三重分类，是命题逻辑中最基本的语义分类。

定义

重言式与矛盾式（Tautology and Contradiction）

在命题逻辑中，任何陈述形式（statement form）都可以通过真值表枚举其在所有可能真值指派下的真值。根据真值表最后一列（即该陈述形式自身的真值列）的取值模式，所有陈述形式被分为三大类：重言式、矛盾式和偶真式。

核心性质

类型	英文名	真值表特征	直觉含义
重言式	Tautology	所有行均为 T	恒真，不可能为假
矛盾式	Contradiction	所有行均为 F	恒假，不可能为真
偶真式	Contingent	有 T 有 F	可真可假，取决于实际事实

重言式（Tautology）

重言式（Tautology）

在所有可能的真值指派下均为真的陈述形式。重言式的真不依赖于任何经验事实，而是纯粹由其逻辑形式保证的。

经典实例：$p\vee \sim p$（排中律）

$p$	$\sim p$	$p\vee \sim p$
T	F	T
F	T	T

最后一列全为 T $\to$ $p\vee \sim p$ 是重言式。

矛盾式（Contradiction）

矛盾式（Contradiction）

在所有可能的真值指派下均为假的陈述形式。矛盾式不可能为真，其假也是由逻辑形式保证的。

经典实例：$p\cdot \sim p$（矛盾律的否定形式）

$p$	$\sim p$	$p\cdot \sim p$
T	F	F
F	T	F

最后一列全为 F $\to$ $p\cdot \sim p$ 是矛盾式。

偶真式（Contingent）

偶真式（Contingent Statement Form）

在某些真值指派下为真，在另一些真值指派下为假的陈述形式。偶真式的真值取决于其中变元的实际真值（即经验事实）。

经典实例：$p\supset q$（实质蕴涵）

$p$	$q$	$p\supset q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

最后一列有 T 有 F $\to$ $p\supset q$ 是偶真式。

论证有效性与重言式的关系

核心定理：论证有效 ⟺ 条件陈述为重言式

任何论证都可以转化为一个条件陈述：将所有前提用合取（$\cdot$）连接，再用实质蕴涵（$\supset$）连接结论：

$(前{提}_1\cdot 前{提}_2\cdot \dots \cdot 前{提}_n)\supset 结论$

该论证是有效的，当且仅当这个条件陈述是重言式。

这一关系是真值表判定论证有效性的理论基础：

• 条件陈述为重言式 $\to$ 不存在”前件 T 且后件 F”的行 $\to$ 不存在”前提全 T 且结论 F”的行 $\to$ 论证有效
• 条件陈述不是重言式 $\to$ 存在”前件 T 且后件 F”的行 $\to$ 存在”前提全 T 且结论 F”的行 $\to$ 论证无效

析取三段论的有效性验证

论证：$p\vee q,\sim p,\therefore q$

条件陈述：$(p\vee q\cdot \sim p)\supset q$

$p$	$q$	$p\vee q$	$\sim p$	$p\vee q\cdot \sim p$	$(p\vee q\cdot \sim p)\supset q$
T	T	T	F	F	T
T	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T
F	F	F	T	F	T

最后一列全为 T $\to$ 条件陈述是重言式 $\to$ 论证有效。

三大思想法则都是重言式

传统逻辑中的三大思想法则（Three Laws of Thought）在命题逻辑中都可以表达为重言式：

法则	符号形式	含义	验证
同一原理（Law of Identity）	$p\supset p$	任何命题蕴涵自身	$p$=T 时 T⊃T=T；$p$=F 时 F⊃F=T → 重言式
不矛盾原理（Law of Non-Contradiction）	$\sim (p\cdot \sim p)$	一个命题不能同时既真又假	$p\cdot \sim p$ 恒为 F，取反后恒为 T → 重言式
排中原理（Law of Excluded Middle）	$p\vee \sim p$	一个命题要么真要么假，没有第三种可能	见上文真值表 → 重言式

维特根斯坦《逻辑哲学论》

重言式在真值的一切组合中皆为真，这表明它对世界”什么也没说”。重言式的真是逻辑结构本身所保证的，而非来自对事实的描述。Wittgenstein 在 Tractatus Logico-Philosophicus (1921) 中将重言式视为逻辑的极限情况——它显示了语言的结构，但不对世界做出任何断言。

与其他概念的关系

graph LR
    TC[重言式与矛盾式] --> |通过| TT[[真值表]]分类
    TC --> |重言式⟺| VAL[[有效性]]
    TC --> |重言式⟺| LE[[逻辑等价]]
    TC --> |基于| TF[[真值函项性]]
    TC --> |矛盾式否定→重言式| MI[[实质蕴涵]]
    TC --> |三大法则| LAW[思想法则]

补充

重言式与矛盾式的对偶性

重言式与矛盾式之间存在重要的对偶关系：

• 若 $S$ 是重言式，则 $\sim S$ 是矛盾式
• 若 $S$ 是矛盾式，则 $\sim S$ 是重言式
• 重言式的否定是矛盾式，矛盾式的否定是重言式

这意味着只需掌握其中一类，另一类可以通过取否定来获得。偶真式则没有这种对称性——偶真式的否定仍然是偶真式。

偶真式与经验命题

偶真式的真值取决于其中变元的实际取值，因此偶真式对应于经验命题（empirical propositions）——它们的真或假需要通过观察事实来确定。例如，“天下雨了”（$p$）是偶真式，其真假取决于天气的实际状况。而重言式（如”天下雨或没下雨”）和矛盾式（如”天下雨且没下雨”）的真假则完全由逻辑形式决定，无需考察事实。

应用

• 论证有效性判定：将论证转化为条件陈述，检验其是否为重言式
• 逻辑等价检验：$p\equiv q$ 是重言式 $⟺$ $p$ 与 $q$ 逻辑等价（参见逻辑等价）
• 逻辑系统的可靠性/完全性：一个逻辑系统是可靠的，当且仅当所有可证明的公式都是重言式；是完全的，当且仅当所有重言式都可被证明
• 知识表示：在人工智能中，重言式用于表示逻辑上必然为真的知识，矛盾式用于检测知识库中的不一致性

第9章：用CP/IP证明重言式

第9章引入了条件证明（CP）和间接证明（IP）作为证明重言式的新方法。

• CP证明重言式：要证明条件式重言式 $P\supset Q$，在无前提前提下假设 $P$，推导出 $Q$，然后通过CP消去假设得到 $P\supset Q$（参见条件证明）
• IP证明重言式：要证明重言式 $Q$，在无前提前提下假设 $\sim Q$，推导出矛盾，然后通过IP消去假设得到 $Q$（参见间接证明）
• 不相容性与矛盾式：一组命题是不相容的，当且仅当它们的合取是矛盾式（参见不相容性）

CP/IP是证明重言式最有效的方法

真值表方法需要构造 $2^n$ 行来验证重言式，而CP/IP通常只需要几步推导。特别是对于条件式重言式（如 $(Q\supset R)\supset [(P\supset Q)\supset (P\supset R)]$），CP的嵌套使用使证明非常简洁。

参见

• 真值函项性：复合陈述的真值由其成分的真值唯一决定
• 真值表：构造和分析陈述形式真值的工具
• 逻辑等价：两个陈述在所有真值指派下真值相同
• 有效性：论证有效当且仅当对应条件陈述为重言式
• 实质蕴涵：条件陈述的真值函项定义