事件
Abstract
事件（Event）是样本空间的子集，即若干样本点的集合。事件是概率论的核心研究对象——我们关心的不是单个样本点，而是”某些结果是否发生”。事件运算与集合运算完全对应，这使集合论成为概率论的天然语言。
定义
事件
设 为样本空间， 的任意子集 称为一个事件（event）。
- 基本事件：仅含一个样本点的事件
- 复合事件：含两个或以上样本点的事件
- 必然事件： 本身（一定发生），
- 不可能事件：空集 （一定不发生），
互斥事件（Mutually Exclusive Events）
若两个事件 和 不能同时发生，即 则称 和 为互斥事件（或不相容事件）。
互斥事件的概率满足：
推广：若 两两互斥，则
对立事件（Complementary Event）
事件 的对立事件（补事件）记为 ，定义为：
对立事件的概率满足互补律：
注意： 与 一定互斥，且 。
事件运算与集合运算的对应关系
事件运算与集合运算存在完全的对应关系：
事件语言 集合语言 符号 事件 发生 — 和 同时发生 交集 或 至少一个发生 并集 不发生 补集 发生但 不发生 差集 蕴含 （ 发生则 必发生） 子集
核心性质
| 编号 | 性质名称 | 数学表达 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 | De Morgan 律（事件版） | ， | 并的补等于补的交，交的补等于补的并 |
| 2 | 交换律 | ， | 并运算与交运算满足交换律 |
| 3 | 结合律 | 多个事件的并运算可任意结合 | |
| 4 | 分配律 | 交对并的分配律（并的分配律类似） | |
| 5 | 互斥判定 | 互斥等价于交集概率为零 | |
| 6 | 包含关系 | 子事件的概率不超过父事件 | |
| 7 | 差事件概率 | 差事件的概率等于原事件减去交集部分 |
关系网络
graph LR A[事件] --> B[样本空间] A --> C[概率] A --> D[互斥事件] A --> E[对立事件] A --> F[事件运算] F --> G[并集] F --> H[交集] F --> I[补集] D --> J[容斥原理] C --> K[条件概率] K --> L[独立性] C --> M[加法公式]
章节扩展
补充
事件域（ -代数）
在严格的概率论中，并非样本空间的所有子集都能作为事件。需要满足以下条件的子集族 称为事件域（或 -代数）：
- 若 ，则 （对补封闭）
- 若 ，则 （对可数并封闭）
在有限样本空间中，所有子集均可作为事件，因此离散数学中通常不需要考虑这一限制。
事件与命题逻辑的类比
事件运算与命题逻辑存在深刻的类比关系：
- 事件的并 对应逻辑或
- 事件的交 对应逻辑与
- 事件的补 对应逻辑非
- 互斥对应逻辑中的矛盾（不可同真）
- 对立对应逻辑中的矛盾律（必有一真一假）
这一类比有助于从集合论和逻辑学两个角度理解概率。