样本空间

Abstract

样本空间（Sample Space）是随机试验所有可能结果构成的集合，记为 $S$。样本空间是概率论的出发点——先明确”所有可能发生什么”，才能进一步度量”某个结果发生的可能性有多大”。

定义

样本空间

一个随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为 $S$。样本空间中的每个元素称为一个样本点（sample point）。

示例：

• 掷一枚硬币：$S=\{H,T\}$（正面、反面）
• 掷两枚硬币：$S=\{HH,HT,TH,TT\}$
• 掷一颗骰子：$S=\{1,2,3,4,5,6\}$

离散样本空间与连续样本空间

• 离散样本空间：样本空间 $S$ 是有限集或可数无限集。例如掷骰子的结果集 $\{1,2,3,4,5,6\}$。
• 连续样本空间：样本空间 $S$ 是不可数集。例如在区间 $[0,1]$ 上随机取一个实数。

离散数学主要关注离散样本空间，其中每个样本点可被逐一枚举。

有限样本空间的概率赋值

设有限样本空间 $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_n\}$，为每个样本点 $s_i$ 分配一个概率 $p_i$，满足： $p_i\ge 0(i=1,2,\dots ,n)$ ${\sum }_{i=1}^n{p}_i=1$ 则事件 $E\subseteq S$ 的概率为： $P(E)={\sum }_{s_i\in E}{p}_i$ 当所有样本点等可能时，$p_i=1/n$，此时退化为拉普拉斯定义 $P(E)=|E|/|S|$。

核心性质

编号	性质名称	数学表达	说明
1	非空性	$S\ne \varnothing$	样本空间至少包含一个样本点
2	全概率归一	$P(S)=1$	所有样本点的概率之和恒为 1
3	有限可加性	$P(\{s_i\})\ge 0$	每个基本事件（样本点）的概率非负
4	互斥基本事件	$s_i\ne s_j\Rightarrow \{s_i\}\cap \{s_j\}=\varnothing$	不同样本点构成互斥的基本事件
5	事件概率求和	$P(E)={\sum }_{s_i\in E}P(\{s_i\})$	任意事件的概率等于其所含样本点概率之和

关系网络

graph LR
    A[样本空间] --> B[概率]
    A --> C[事件]
    A --> D[样本点]
    C --> E[互斥事件]
    C --> F[对立事件]
    B --> G[条件概率]
    B --> H[独立性]
    D --> I[基本事件]
    I --> B

章节扩展

• 第7.1节：样本空间的基本定义与概率赋值方法
• 第7.2节：在样本空间上定义条件概率，引入信息更新机制
• 第7.4节：样本空间上的概率分布，将样本点映射为数值

补充

样本空间的构造方法

构造样本空间的关键在于明确”一次试验”的含义。同一实际问题，试验定义不同，样本空间也不同：

• 掷两枚硬币（不区分顺序）：$S=\{0H,1H,2H\}$（按正面数量）
• 掷两枚硬币（区分顺序）：$S=\{HH,HT,TH,TT\}$（按逐次结果）

选择哪种构造方式取决于具体问题需求。通常区分顺序的构造更便于计算等可能概率。

乘积样本空间

若试验 1 的样本空间为 $S_1$，试验 2 的样本空间为 $S_2$，则两个试验联合进行的样本空间为笛卡尔积： $S=S_1\times S_2=\{(s_1,s_2)\mid s_1\in S_1,s_2\in S_2\}$ 例如掷两颗骰子：$S=\{1,\dots ,6\}\times \{1,\dots ,6\}$，共 $36$ 个样本点。

参见

• 概率 — 在样本空间上定义的度量函数
• 事件 — 样本空间的子集，概率的作用对象