伯努利试验

概述

伯努利试验 是只有两种可能结果的随机试验，是概率论中最基本的试验模型。指示器随机变量 本质上就是对伯努利试验结果的数学编码。

定义

伯努利试验

一次伯努利试验（Bernoulli trial）是一种随机试验，其结果只有两种：

• 成功（success），概率为 $p$；
• 失败（failure），概率为 $1-p$。 其中 $0\le p\le 1$。伯努利试验的结果可以用一个参数为 $p$ 的伯努利随机变量 $X$ 来描述：$X=1$（成功）的概率为 $p$，$X=0$（失败）的概率为 $1-p$。

核心性质

• 与指示器随机变量的关系：每个指示器随机变量 $I\{A\}$ 就是一个伯努利随机变量，其成功概率 $p=Pr\{A\}$。
• 二项分布：$n$ 次独立的伯努利试验中成功的总次数 $X$ 服从参数为 $(n,p)$ 的二项分布 $b(n,p)$： $Pr\{X=k\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$
• 期望：单次伯努利试验的期望为 $E[X]=p$；$n$ 次独立伯努利试验之和的期望为 $E[X]=np$。
• 方差：单次伯努利试验的方差为 $Var(X)=p(1-p)$；$n$ 次独立伯努利试验之和的方差为 $Var(X)=np(1-p)$。
• 桶排序分析的基础：在 8.4 桶排序 的分析中，每个元素落入特定桶的事件可以视为伯努利试验，桶中元素个数服从二项分布，进而分析期望运行时间。

章节扩展

第5章：概率分析与随机化算法

• 5.4 概率分析与指示器随机变量的进一步应用 使用伯努利试验和二项分布分析球与箱子问题等经典概率问题。

第8章：线性时间排序

• 8.4 桶排序 的概率分析中，每个元素落入某个桶的事件建模为伯努利试验，桶的大小近似服从二项分布，从而证明期望运行时间为 $\Theta (n)$。

参见

• 期望的线性性
• 指示器随机变量