2.3 函数

相关笔记： 2.2 集合运算 | 2.4 序列与求和

概览

本节系统介绍了函数（function）的基本概念与核心性质，包括函数的定义、单射（injective）、满射（surjective）、双射（bijective）三种特殊函数，以及反函数（inverse function）与函数复合（composition）运算。此外，本节还介绍了离散数学中极为重要的下取整函数（floor function）和上取整函数（ceiling function），以及偏函数（partial function）的概念。

• 函数是从定义域到值域的”一对一”或”多对一”映射，每个输入恰好对应一个输出
• 单射要求不同输入映射到不同输出，满射要求值域中每个元素都被映射到，双射同时满足两者
• 反函数仅当函数是双射时才存在，它将映射关系完全反转
• 函数复合 $f\circ g$ 先应用 $g$ 再应用 $f$，且一般不满足交换律
• 下取整 $\lfloor x\rfloor$ 和上取整 $\lceil x\rceil$ 在数据存储、算法分析等领域有广泛应用
• 偏函数允许定义域中某些元素没有对应的输出值，与全函数（total function）相对

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一、知识结构总览

graph TB
    A["2.3 函数"] --> B["函数的基本概念"]
    A --> C["单射与满射"]
    A --> D["反函数与复合"]
    A --> E["函数的图"]
    A --> F["重要函数"]
    A --> G["偏函数"]

    B --> B1["定义域 Domain"]
    B --> B2["值域 Codomain"]
    B --> B3["像 Range"]
    B --> B4["子集的像 f(S)"]
    B --> B5["函数的相等"]

    C --> C1["单射 Injection"]
    C --> C2["满射 Surjection"]
    C --> C3["双射 Bijection"]
    C --> C4["恒等函数"]
    C --> C5["单调性与单射的关系"]

    D --> D1["反函数 f⁻¹"]
    D --> D2["函数复合 f ∘ g"]
    D --> D3["复合与反函数的关系"]

    E --> E1["图的定义"]
    E --> E2["有序对集合"]

    F --> F1["下取整 ⌊x⌋"]
    F --> F2["上取整 ⌈x⌉"]
    F --> F3["性质与恒等式"]
    F --> F4["阶乘函数 n!"]

    G --> G1["定义域 of Definition"]
    G --> G2["全函数 vs 偏函数"]

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二、核心思想

核心思想

本节的核心思想是：函数是定义域到值域的一种特殊关系——每个输入恰好对应一个输出。单射、满射和双射是函数的三种重要性质，它们分别刻画了函数的”不重复性”、“覆盖性”和”一一对应性”。反函数仅对双射存在，函数复合是构造新函数的基本手段。下取整和上取整函数是连接连续数学与离散数学的桥梁，在算法分析中无处不在。

1. 函数的定义

函数（Function）

设 $A$ 和 $B$ 为非空集合，从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f$ 是一种==将 $B$ 中恰好一个元素分配给 $A$ 中每个元素==的规则。若 $b$ 是 $f$ 分配给 $a\in A$ 的唯一元素，则记 $f(a)=b$。

• 记作 $f:A\to B$，也称 $f$ 将 $A$ 映射（maps）到 $B$
• $A$ 称为 $f$ 的定义域（domain），$B$ 称为 $f$ 的值域（codomain）
• 若 $f(a)=b$，则 $b$ 是 $a$ 的像（image），$a$ 是 $b$ 的原像（preimage）
• $f$ 的所有像的集合称为 $f$ 的值域（range），即 $\{f(a)\mid a\in A\}$
• range $\subseteq$ codomain，两者不一定相等
• 函数也称为映射（mapping）或变换（transformation）

函数示例：成绩分配

设 $G$ 为将成绩分配给离散数学班级学生的函数：

学生	$G(\text{学生})$
Adams	A
Chou	C
Goodfriend	B
Rodriguez	A
Stevens	F

• 定义域：$\{$Adams, Chou, Goodfriend, Rodriguez, Stevens$\}$
• 值域（codomain）：$\{A,B,C,D,F\}$
• 值域（range）：$\{A,B,C,F\}$（D 没有被分配给任何学生）

函数的相等

两个函数相等当且仅当它们具有相同的定义域、相同的值域，并且对定义域中每个元素映射到值域中相同的元素。改变定义域、值域或映射规则中的任何一个，都会得到不同的函数。

子集的像

设 $f:A\to B$，$S\subseteq A$。$S$ 在 $f$ 下的像（image）定义为： $f(S)=\{t\mid \exists s\in S,t=f(s)\}$

子集的像

设 $A=\{a,b,c,d,e\}$，$B=\{1,2,3,4\}$，$f(a)=2,f(b)=1,f(c)=4,f(d)=1,f(e)=1$。 取 $S=\{b,c,d\}$，则 $f(S)=\{1,4\}$。

2. 单射、满射与双射

2.1 单射（Injection）

单射函数（Injective Function）

函数 $f$ 称为单射（injective）或一对一（one-to-one），当且仅当对所有定义域中的 $a$ 和 $b$，$f(a)=f(b)$ 蕴含 $a=b$。

• 等价表述：$\forall a\forall b(a\ne b\to f(a)\ne f(b))$
• 直觉：不同的输入一定产生不同的输出

单射 vs 非单射

函数	是否单射	原因
$f(x)=x+1$（$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$）	是	若 $f(x)=f(y)$，则 $x+1=y+1$，故 $x=y$
$f(x)=x^2$（$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$）	否	$f(1)=f(-1)=1$，但 $1\ne -1$
$f(x)=x^2$（${\mathbb{Z}}^{+}\to {\mathbb{Z}}^{+}$）	是	在正整数上，不同输入的平方不同

判断单射的方法

• 证明单射：假设 $f(x)=f(y)$，推导出 $x=y$
• 证明非单射：找到具体的 $x\ne y$ 使得 $f(x)=f(y)$

2.2 单调性与单射的关系

单调函数

设 $f$ 的定义域和值域是实数集的子集：

类型	定义	形式化
递增（increasing）	$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$	$\forall x\forall y(x<y\to f(x)\le f(y))$
严格递增（strictly increasing）	$x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$	$\forall x\forall y(x<y\to f(x)<f(y))$
递减（decreasing）	$x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)$	$\forall x\forall y(x<y\to f(x)\ge f(y))$
严格递减（strictly decreasing）	$x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$	$\forall x\forall y(x<y\to f(x)>f(y))$

严格单调 $\Rightarrow$ 单射

严格递增或严格递减的函数一定是单射的。但递增（非严格）或递减（非严格）的函数不一定是单射的。

严格递增保证单射

$f(x)=x^2$ 在 ${\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ 上是严格递增的：

推导过程：设 $x,y$ 为正实数且 $x<y$。

1. 由 $x<y$ 且 $x>0$，得 $x^2<xy$（两边同乘 $x$）
2. 由 $x<y$ 且 $y>0$，得 $xy<y^2$（两边同乘 $y$）
3. 综合：$x^2<xy<y^2$，即 $f(x)<f(y)$

因此 $f$ 严格递增，故为单射。

但 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}$ 上不是严格递增的：$-1<0$，但 $f(-1)=1>0=f(0)$。

2.3 满射（Surjection）

满射函数（Surjective Function）

函数 $f:A\to B$ 称为满射（surjective），当且仅当对值域中每个元素 $b\in B$，都存在 $a\in A$ 使得 $f(a)=b$。

• 等价表述：$\forall y\exists x(f(x)=y)$
• 直觉：值域中的每个元素都”被用到了”

满射 vs 非满射

函数	是否满射	原因
$f(x)=x+1$（$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$）	是	对任意整数 $y$，取 $x=y-1$，则 $f(x)=y$
$f(x)=x^2$（$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$）	否	不存在整数 $x$ 使得 $x^2=-1$

判断满射的方法

• 证明满射：取值域中任意元素 $y$，找到定义域中的 $x$ 使得 $f(x)=y$
• 证明非满射：找到值域中某个元素 $y$，使得对所有 $x$ 都有 $f(x)\ne y$

2.4 双射（Bijection）

双射函数（Bijective Function）

函数 $f$ 称为双射（bijection）或一一对应（one-to-one correspondence），当且仅当 $f$ 既是单射又是满射。

• 双射也称为可逆函数（invertible function），因为只有双射才存在反函数
• 恒等函数 ${\iota }_A:A\to A$，${\iota }_A(x)=x$ 是一个双射

四种对应关系

类型	单射	满射	示例
单射但非满射	是	否	$\{a,b,c,d\}\to \{1,2,3,4,5\}$，每个映射到不同值
满射但非单射	否	是	$\{a,b,c,d\}\to \{1,2,3\}$，值域全覆盖但有重复
双射	是	是	$\{a,b,c,d\}\to \{1,2,3,4\}$，一一对应
既非单射也非满射	否	否	多个输入映射到同一值，且值域未全覆盖

有限集上的单射与满射

若 $A$ 是有限集，则 $f:A\to A$ 是单射当且仅当它是满射。但这一结论对无限集不成立。

3. 反函数与函数复合

3.1 反函数

反函数（Inverse Function）

设 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的双射。$f$ 的反函数 $f^{-1}$ 是从 $B$ 到 $A$ 的函数，满足 $f^{-1}(b)=a$ 当且仅当 $f(a)=b$。

• 反函数存在的充要条件：$f$ 是双射
• 若 $f$ 不是单射，则某些 $b$ 有多个原像，无法唯一确定 $f^{-1}(b)$
• 若 $f$ 不是满射，则某些 $b$ 没有原像，$f^{-1}(b)$ 无定义
• 注意：$f^{-1}$ 不要与 $1/f$（倒数函数）混淆

反函数的构造

$f(x)=x+1$（$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$）是双射（单射见例10，满射见例15）。

推导过程：设 $y=f(x)=x+1$，则 $x=y-1$。 因此 $f^{-1}(y)=y-1$。

限制定义域使函数可逆

$f(x)=x^2$（$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$）不是双射（非单射也非满射）。

但若将定义域和值域都限制为 ${\mathbb{R}}^{+}\cup \{0\}$：

• 单射：若 $f(x)=f(y)$，则 $x^2=y^2$，即 $(x+y)(x-y)=0$。由于 $x,y\ge 0$，$x+y>0$，故 $x-y=0$，即 $x=y$
• 满射：对任意 $y\ge 0$，取 $x=\sqrt{y}\ge 0$，则 $x^2=y$
• 反函数：$f^{-1}(y)=\sqrt{y}$

3.2 函数复合

函数复合（Composition of Functions）

设 $g:A\to B$，$f:B\to C$。$f$ 和 $g$ 的复合记为 $f\circ g$，是从 $A$ 到 $C$ 的函数，定义为： $(f\circ g)(a)=f(g(a))$

• 复合的定义前提：$g$ 的值域必须是 $f$ 的定义域的子集
• $(f\circ g)$ 的定义域是 $g$ 的定义域
• $(f\circ g)$ 的值域是 $f$ 在 $g$ 的值域上的像

函数复合的计算

设 $f(x)=2x+3$，$g(x)=3x+2$（均为 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$）。

推导过程： $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7$ $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11$

注意 $f\circ g\ne g\circ f$，即函数复合不满足交换律。

复合与反函数的关系

若 $f:A\to B$ 是双射，则： $f^{-1}\circ f={\iota }_A,f\circ f^{-1}={\iota }_B$

即反函数与原函数的复合（无论顺序）得到恒等函数。

4. 函数的图

函数的图（Graph of a Function）

设 $f:A\to B$。$f$ 的图是有序对的集合： $\{(a,b)\mid a\in A\text{ 且 }f(a)=b\}$

• 函数的图是 $A\times B$ 的一个子集
• 函数的图与函数确定的关系完全相同

5. 下取整与上取整函数

下取整函数（Floor Function）与上取整函数（Ceiling Function）

• 下取整函数 $\lfloor x\rfloor$：不超过 $x$ 的最大整数（向左取整）
• 上取整函数 $\lceil x\rceil$：不小于 $x$ 的最小整数（向右取整）

$$\lfloor 1/2\rfloor =0,\lceil 1/2\rceil =1,\lfloor -1/2\rfloor =-1,\lceil -1/2\rceil =0$$

下取整与上取整的核心性质

设 $n$ 为整数，$x$ 为实数：

编号	性质
(1a)	$\lfloor x\rfloor =n⟺n\le x<n+1$
(1b)	$\lceil x\rceil =n⟺n-1<x\le n$
(1c)	$\lfloor x\rfloor =n⟺x-1<n\le x$
(1d)	$\lceil x\rceil =n⟺x\le n<x+1$
(2)	$x-1<\lfloor x\rfloor \le x\le \lceil x\rceil <x+1$
(3a)	$\lfloor -x\rfloor =-\lceil x\rceil$
(3b)	$\lceil -x\rceil =-\lfloor x\rfloor$
(4a)	$\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n$
(4b)	$\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n$

性质 (4a) 的证明

证明：设 $\lfloor x\rfloor =m$，由性质 (1a) 知 $m\le x<m+1$。 在不等式各部分加上 $n$：$m+n\le x+n<m+n+1$。 由性质 (1a) 得 $\lfloor x+n\rfloor =m+n=\lfloor x\rfloor +n$。$■$

下取整恒等式的证明： $\lfloor 2x\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+1/2\rfloor$

证明：令 $x=n+ϵ$，其中 $n=\lfloor x\rfloor$ 为整数，$0\le ϵ<1$。

情况 1：$0\le ϵ<1/2$。

• $2x=2n+2ϵ$，由于 $0\le 2ϵ<1$，故 $\lfloor 2x\rfloor =2n$
• $x+1/2=n+(1/2+ϵ)$，由于 $0<1/2+ϵ<1$，故 $\lfloor x+1/2\rfloor =n$
• 因此 $\lfloor 2x\rfloor =2n=n+n=\lfloor x\rfloor +\lfloor x+1/2\rfloor$ $✓$

情况 2：$1/2\le ϵ<1$。

• $2x=2n+2ϵ=(2n+1)+(2ϵ-1)$，由于 $0\le 2ϵ-1<1$，故 $\lfloor 2x\rfloor =2n+1$
• $x+1/2=n+1+(ϵ-1/2)$，由于 $0\le ϵ-1/2<1/2<1$，故 $\lfloor x+1/2\rfloor =n+1$
• 因此 $\lfloor 2x\rfloor =2n+1=n+(n+1)=\lfloor x\rfloor +\lfloor x+1/2\rfloor$ $✓$

两种情况均成立，故恒等式得证。$■$

上取整的反例： $\lceil x+y\rceil \ne \lceil x\rceil +\lceil y\rceil$

取 $x=1/2$，$y=1/2$：

• $\lceil x+y\rceil =\lceil 1\rceil =1$
• $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil =1+1=2$
• $1\ne 2$，故该等式不成立。

下取整/上取整的实用技巧

• 处理 $\lfloor x\rfloor$ 相关问题时，令 $x=n+ϵ$，其中 $n=\lfloor x\rfloor$，$0\le ϵ<1$
• 处理 $\lceil x\rceil$ 相关问题时，令 $x=n-ϵ$，其中 $n=\lceil x\rceil$，$0\le ϵ<1$
• 对 $\lfloor 2x\rfloor$ 类问题，通常在 $ϵ=1/2$ 处分情况讨论

6. 阶乘函数

阶乘函数（Factorial Function）

阶乘函数 $f:\mathbb{N}\to {\mathbb{Z}}^{+}$ 定义为 $f(n)=n!$，即前 $n$ 个正整数的乘积： $n!=1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot n,0!=1$

• 阶乘函数增长极快：$20!=2,432,902,008,176,640,000$
• Stirling 公式：$n!\sim \sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n$（当 $n\to \infty$ 时，$n!/(\sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n)\to 1$）

7. 偏函数

偏函数（Partial Function）

从 $A$ 到 $B$ 的偏函数 $f$ 是对 $A$ 的某个子集（称为 $f$ 的定义域，domain of definition）中的每个元素分配 $B$ 中唯一元素的规则。

• 对于 $A$ 中不在定义域内的元素，$f$ 是未定义的（undefined）
• 当定义域等于 $A$ 时，$f$ 是全函数（total function）
• 偏函数的记号 $f:A\to B$ 与全函数相同，需根据上下文区分

偏函数示例

$f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$，$f(n)=\sqrt{n}$。

• 定义域（domain of definition）：非负整数集 $\{0,1,2,\dots \}$
• 对负整数未定义（因为 $\sqrt{n}$ 不是实数）

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三、补充理解与易混淆点

补充理解

1. 函数概念的历史演变

函数概念是数学中最核心的概念之一，其历史可追溯至 17 世纪。德国数学家 Gottfried Wilhelm Leibniz（1646-1716）在 1673 年首次引入”函数”（function）一词，最初用于描述与曲线上的点相关的量（如切线、法线等）。此后，Johann Bernoulli（1667-1748）在 1718 年将函数定义为一个由变量和常量以任何方式构成的解析表达式。18 世纪，Leonhard Euler（1707-1783）在其名著《Institutiones Calculi Differentialis》（1755）中进一步发展了函数理论。现代数学中基于集合论的函数定义（即作为有序对的集合）归功于 20 世纪初的数学形式化运动，特别是 Dirichlet（1805-1859）提出的”任意对应”观念打破了函数必须是解析表达式的限制，使得离散数学中的函数（如特征函数、下取整函数等）获得了严格的数学基础。

• 来源: Kleiner, I. (1989). “Evolution of the Function Concept: A Brief Survey.” The College Mathematics Journal, 20(4), 282-300. https://doi.org/10.1080/07468342.1989.11973245

网络资源：

• Brilliant - Bijection, Injection, Surjection — 单射、满射、双射的交互式教程与练习

2. 下取整与上取整在计算机科学中的广泛应用

下取整 $\lfloor x\rfloor$ 和上取整 $\lceil x\rceil$ 函数在计算机科学中无处不在。在算法分析中，归并排序的时间复杂度为 $T(n)=T(\lfloor n/2\rfloor )+T(\lceil n/2\rceil )+\Theta (n)$，需要利用取整函数的性质来求解递推关系。在密码学中，RSA 加密算法的核心运算依赖于模幂运算，而密钥长度和分组大小的计算都涉及取整函数。在计算机图形学中，将连续的几何坐标映射到离散的像素网格时，Bresenham 画线算法本质上就是在进行取整运算。在数据通信中，如教材中 ATM 信元计算的例子所示，数据分组的数量需要用 $\lceil \cdot \rceil$ 或 $\lfloor \cdot \rfloor$ 来确定。此外，在散列函数的设计中，取整运算用于将浮点数映射到整数索引。

• 来源: Graham, R. L., Knuth, D. E., & Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison-Wesley. Chapter 3: Integer Functions.
• 参考: Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd ed.). MIT Press. https://mitpress.mit.edu/9780262033848/

网络资源：

• UCL - Function Properties — 函数性质的系统讲解

易混淆点

1. 反函数记号 $f^{-1}$ vs 倒数 $1/f$

• ❌ 将反函数 $f^{-1}(x)$ 与倒数函数 $1/f(x)$ 混淆，认为 $f^{-1}(x)=1/f(x)$
• ✅ $f^{-1}$ 是反函数（将映射关系反转），$1/f$ 是倒数函数（对函数值取倒数）。例如 $f(x)=x+1$ 的反函数是 $f^{-1}(x)=x-1$，而 $1/f(x)=1/(x+1)$。两者完全不同。注意 $f^{-1}$ 仅当 $f$ 是双射时才存在，而 $1/f$ 只要求 $f(x)\ne 0$

2. 值域（codomain）vs 像集（range）

• ❌ 认为值域（codomain）和像集（range）是同一个概念，可以互换使用
• ✅ 值域（codomain）是函数定义中指定的目标集合 $B$，包含所有可能的输出值；像集（range）是实际被映射到的值的集合 $\{f(a)\mid a\in A\}$。像集一定是值域的子集，但两者不一定相等。例如 $f(x)=x^2$（$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$）的值域是 $\mathbb{Z}$，但像集是 $\{0,1,4,9,\dots \}$。改变值域会得到不同的函数，即使映射规则不变

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四、习题精选

习题概览

题号范围	核心考点	难度
1-3	判断是否为函数（定义域/值域/映射规则）	⭐
4-7	求函数的定义域和值域	⭐⭐
8-9	下取整与上取整函数的计算	⭐
10-13	判断单射/满射（有限集与整数集）	⭐⭐
14-15	判断 $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 的满射性	⭐⭐⭐
16-19	实际场景中的单射/满射条件分析	⭐⭐
20-23	构造单射/满射/双射/非单非满的函数	⭐⭐⭐
24-27	严格单调与单射的关系证明	⭐⭐⭐
28-29	可逆性判断与限制定义域使函数可逆	⭐⭐
30-32	子集的像 $f(S)$ 的计算	⭐⭐
33-37	函数复合的性质（单射/满射的保持性）	⭐⭐⭐
38-41	函数复合与反函数的计算	⭐⭐
42-47	像与逆像的性质证明	⭐⭐⭐
48-58	下取整/上取整函数的性质证明	⭐⭐⭐
60-63	下取整/上取整在实际问题中的应用	⭐⭐
64-70	函数图形的绘制	⭐⭐
71-72	反函数的求解与复合反函数	⭐⭐
73	特征函数与集合运算的关系	⭐⭐⭐
74	有限集上单射与满射的等价性证明	⭐⭐⭐
75-78	下取整/上取整恒等式的证明与反证	⭐⭐⭐
79-82	偏函数与全函数	⭐⭐

题1：判断函数的单射性与满射性

题目

判断函数 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$，$f(x)=x^2+1$ 是否为单射、满射或双射，并说明理由。

解答

非单射：取 $x=1$ 和 $x=-1$，则 $f(1)=1^2+1=2$，$f(-1)=(-1{)}^2+1=2$。由于 $1\ne -1$ 但 $f(1)=f(-1)$，故 $f$ 不是单射。

非满射：不存在整数 $x$ 使得 $f(x)=0$（因为 $x^2+1\ge 1$ 对所有整数 $x$ 成立），故 $0$ 不在值域中，$f$ 不是满射。

结论：$f$ 既非单射也非满射，故非双射。$■$

题2：判断线性函数的单射性与满射性

题目

判断 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$，$f(x)=2x+1$ 是否为单射、满射、双射。

解答

单射：设 $f(x)=f(y)$，则 $2x+1=2y+1$，故 $2x=2y$，$x=y$。因此 $f$ 是单射。

满射：取 $y=2$（偶数），若存在 $x\in \mathbb{Z}$ 使得 $2x+1=2$，则 $2x=1$，$x=1/2\notin \mathbb{Z}$。因此偶数不在值域中，$f$ 不是满射。

结论：$f$ 是单射但非满射，故非双射。$■$

题3：不同定义域下单射性/满射性的讨论

题目

设 $f(x)=x^2$，分别讨论定义域为 $\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^{+}$ 时的单射性/满射性（值域均为 $\mathbb{R}$）。

解答

情况一：$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$f(x)=x^2$。

• 非单射：$f(1)=f(-1)=1$，但 $1\ne -1$。
• 非满射：不存在 $x\in \mathbb{R}$ 使得 $x^2=-1$。
• 结论：既非单射也非满射。

情况二：$f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$，$f(x)=x^2$。

• 单射：设 $f(x)=f(y)$，则 $x^2=y^2$。由于 $x,y>0$，故 $x=y$（负根被排除）。
• 非满射：不存在 $x>0$ 使得 $x^2=-1$。
• 结论：是单射但非满射。

若将值域也限制为 ${\mathbb{R}}^{+}$，即 $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$，则 $f$ 是双射（反函数为 $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$）。$■$

题4：求反函数并验证复合

题目

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$f(x)=2x-3$，求 $f^{-1}$ 并验证 $f\circ f^{-1}=I$。

解答

第一步：验证 $f$ 是双射。

• 单射：设 $f(x)=f(y)$，则 $2x-3=2y-3$，故 $x=y$。
• 满射：对任意 $y\in \mathbb{R}$，取 $x=(y+3)/2$，则 $f(x)=2\cdot \frac{y+3}{2}-3=y$。

因此 $f$ 是双射，反函数存在。

第二步：求 $f^{-1}$。

设 $y=f(x)=2x-3$，解得 $x=\frac{y+3}{2}$。

因此 $f^{-1}(y)=\frac{y+3}{2}$。

第三步：验证 $f\circ f^{-1}=I$。

$(f\circ f^{-1})(y)=f\left(\frac{y+3}{2}\right)=2\cdot \frac{y+3}{2}-3=y+3-3=y$

同理验证 $f^{-1}\circ f=I$：

$(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(2x-3)=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x$

两者都等于恒等函数，验证完毕。$■$

题5：复合双射的反函数公式

题目

证明：若 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$ 都是双射，则 $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$。

解答

证明：要证 $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$，只需证 $f^{-1}\circ g^{-1}$ 确实是 $g\circ f$ 的反函数。

由反函数定义，需验证以下两点：

验证一：$(f^{-1}\circ g^{-1})\circ (g\circ f)={\iota }_A$。

$((f^{-1}\circ g^{-1})\circ (g\circ f))(a)=(f^{-1}\circ g^{-1})(g(f(a)))$

$=f^{-1}(g^{-1}(g(f(a))))$ （函数复合的定义）

$=f^{-1}(f(a))$ （因为 $g^{-1}\circ g={\iota }_B$）

$=a$ （因为 $f^{-1}\circ f={\iota }_A$）

验证二：$(g\circ f)\circ (f^{-1}\circ g^{-1})={\iota }_C$。

$((g\circ f)\circ (f^{-1}\circ g^{-1}))(c)=(g\circ f)(f^{-1}(g^{-1}(c)))$

$=g(f(f^{-1}(g^{-1}(c))))$

$=g(g^{-1}(c))$ （因为 $f\circ f^{-1}={\iota }_B$）

$=c$ （因为 $g\circ g^{-1}={\iota }_C$）

两个条件都满足，因此 $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$。$■$

解题思路提示

判断单射：找两个不同输入是否映射到相同输出（偶函数通常非单射）。判断满射：检查值域中是否有元素没有被映射到。对于 $f(x)=x^2+c$ 类函数，注意偶数次幂会导致非单射，而值域下界 $c$ 会导致非满射。

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五、视频学习指南

视频资源

资源	链接	对应内容	备注
Rosen 8e Section 2.3	教材原文	函数定义、单射满射双射	英文教材
MIT 6.042J Lecture 4	链接	函数与下取整/上取整	英文，MIT开放课程
TrevTutor - Functions	链接	单射、满射、双射判定	英文，适合自学

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六、教材原文

教材原文

“Let A and B be nonempty sets. A function f from A to B is an assignment of exactly one element of B to each element of A. We write f(a) = b if b is the unique element of B assigned by the function f to the element a of A.”

“A function f is called injective (or one-to-one) if and only if f(a) = f(b) implies that a = b for all a and b in the domain of f.”

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参见 Wiki

• 函数 — 函数的基本概念与分类
• 双射 — 一一对应关系的深入讨论
• 反函数 — 反函数的存在条件与计算方法
• 函数复合 — 复合运算的性质与计算
• 下取整函数 — Floor 函数的性质与应用
• 上取整函数 — Ceiling 函数的性质与应用
• 偏函数 — 偏函数与全函数的区别
• 特征函数 — 用函数表示集合的方法 #学习/离散数学/基本结构