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Bell数

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

Bell数概述 Bell 数 B_n 表示 n 元集合上的划分数（由等价关系与划分的一一对应，也等于 n 元集合上的等价关系个数）。Bell 数满足递推公式 B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}B_k，初始条件 B_0 = 1。前若干值为 B_0=1, B_1=1, B_2=2, B_3=5, B_4=15, B_5=52, B_6=203, \ldots。Bell 数的递推直觉是：固定一个元素，考虑它与多少个其他元素同块，对每种情况求和。定义 Bell 数（Bell Numbers）设 B_n 表示 n 元集合上的划分数（即 n 元集合上等价关系的个...

Hasse图

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

Hasse图概述 Hasse 图（Hasse Diagram）是有限偏序集的简洁图形表示方法。通过省略所有自环、省略由传递性蕴含的边、按偏序方向从下到上排列并删除箭头，Hasse 图将偏序集的有向图大幅简化，使层次结构一目了然。图中的每条边恰好对应一个覆盖关系（covering relation）。Hasse 图以 20 世纪德国数学家 Helmut Hasse 命名，是分析偏序集中极大/极小元、上界/下界等概念的重要可视化工具。定义 Hasse 图（Hasse Diagram）有限偏序集 (S, \preceq) 的Hasse 图是按以下四个步骤从有向图得到的简化图：删除所有自环：因...

Hoare三元组

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

Hoare三元组概述 Hoare三元组（Hoare Triple）记为 \{P\}\ S\ \{Q\}，其中 P 是前条件（precondition），S 是程序语句，Q 是后条件（postcondition）。它断言：若执行 S 前 P 为真且 S 终止，则执行后 Q 为真。由 C. A. R.

n元关系

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

n元关系 Abstract n元关系（n-ary relation）是二元关系的自然推广，定义为笛卡尔积 A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n 的子集。n元关系是关系数据库的理论基础——数据库中的每一张表就是一个 n 元关系。本概念涵盖 n 元关系的定义（度与域）、关系数据库模型（记录、字段、主键、复合关键字）、三种基本操作（选择 s_C、投影 P_{i_1,\ldots,i_m}、连接 J_p），以及数据库查询语言 SQL 的基本用法。 n元关系：A_1 \times \cdots \times A_n 的子集，n 为度，A_i 为域关系数据库：表...

onto函数

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

onto函数 Abstract onto 函数（满射函数，Surjection）是从定义域到到达域的函数，其值域恰好覆盖整个到达域（即到达域中每个元素都有至少一个原像）。利用容斥原理的补集形式，可以精确计算从 m 元集到 n 元集的 onto 函数个数，该结果与第二类 Stirling 数密切相关。定义 onto 函数（满射函数）设 f: A \to B 为一个函数。若 f 的值域等于 B，即对每个 b \in B，都存在 a \in A 使得 f(a) = b，则称 f 为 onto 函数（满射函数，surjection）。等价表述：f 是 onto 的当且仅当 B 中没有任何元素被”...

主定理

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

主定理 Abstract 主定理（Master Theorem）提供了形如 f(n) = af(n/b) + cn^d 的分治递推关系复杂度的直接判定方法，根据 a 与 b^d 的大小关系分为三种情况：a < b^d 时 O(n^d)（合并开销主导），a = b^d 时 O(n^d \log n)（平衡情况），a > b^d 时 O(n^{\log_b a})（递归开销主导）。主定理是分析分治算法复杂度的核心工具。定义主定理（Master Theorem / Theorem 2）设 f 是递增函数，满足递推关系 f(n) = af(n/b) + cn^d 其中 n = b^k...

乘法法则

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

乘法法则 Abstract 乘法法则（Product Rule）是组合计数中最基本的方法之一。如果一个任务可以分解为 k 个有序步骤，第 i 步有 n_i 种不同的完成方式，且每步的选择相互独立，则完成整个任务的总方法数为各步方法数的乘积： N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k = \prod_{i=1}^{k} n_i 定义乘法法则（基本形式）若一个过程可以分解为两个连续的步骤：第一步有 n_1 种完成方式第二步有 n_2 种完成方式则完成整个过程共有 n_1 \times n_2 种方式。关键条件：每一步的选择不受其他步骤选择的...

事件

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

事件 Abstract 事件（Event）是样本空间的子集，即若干样本点的集合。事件是概率论的核心研究对象——我们关心的不是单个样本点，而是”某些结果是否发生”。事件运算与集合运算完全对应，这使集合论成为概率论的天然语言。定义事件设 S 为样本空间，S 的任意子集 E \subseteq S 称为一个事件（event）。基本事件：仅含一个样本点的事件 \{s_i\} 复合事件：含两个或以上样本点的事件必然事件：S 本身（一定发生），P(S) = 1 不可能事件：空集 \emptyset（一定不发生），P(\emptyset) = 0 互斥事件（Mutually Exclusive E...

二元关系

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

二元关系 Abstract 二元关系（binary relation）是从集合 A 到集合 B 的笛卡尔积 A \times B 的一个子集，用于描述两个集合元素之间的关联。本概念涵盖关系的定义、记号 aRb、集合 A 上关系的四大核心性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）、关系的复合运算 S \circ R、关系幂 R^n、逆关系 R^{-1}，以及关系的集合运算（并、交、差）。关系 R \subseteq A \times B：用 aRb 表示 (a,b) \in R 四大性质：自反、对称、反对称、传递——是研究等价关系和偏序关系的基础复合运算 S \circ R 与逆关系 R^{-...

二叉搜索树

Tue, 21 Apr 2026 00:00:00 GMT

二叉搜索树概述二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树中所有节点的值都小于该节点的值，右子树中所有节点的值都大于该节点的值。这一性质使得 BST 支持高效的查找、插入和删除操作。在平衡条件下（如AVL 树或红黑树），这些操作的时间复杂度为 O(\log n)。BST 是递归定义的典型应用——整棵 BST 的性质由其根节点和左右子树的递归性质共同决定。BST 的三种遍历（前序、中序、后序）分别对应不同的应用场景，其中中序遍历可以得到有序的键值序列。定义二叉搜索树（BST）一棵二叉搜索树是一棵二叉树，其中每个节点存储一个键值 k...