2.6 矩阵

相关笔记： 2.5 基数

概览

本节系统介绍了矩阵（matrix）的基本概念、矩阵加法与矩阵乘法的运算规则、转置矩阵与对称矩阵的性质，以及专门用于表示离散结构的0-1 矩阵（zero-one matrix）及其布尔运算。矩阵是离散数学中表示集合元素间关系的核心工具，在图论、通信网络和算法设计中有着广泛的应用。

• 矩阵是数的矩形阵列，$m\times n$ 矩阵有 $m$ 行 $n$ 列，$(i,j)$ 处的元素记为 $a_{ij}$
• 矩阵加法要求两个矩阵同型（行数和列数分别相同），对应位置元素相加
• 矩阵乘法 $AB$ 仅在 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数时有定义，$(i,j)$ 处元素为 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积
• 矩阵乘法满足结合律但不满足交换律（$AB\ne BA$ 一般成立）
• 转置矩阵 $A^t$ 通过互换行和列得到，若 $A=A^t$ 则称 $A$ 为对称矩阵
• 0-1 矩阵的布尔运算（join $\vee$、meet $\wedge$、布尔积 $\odot$）是图论中路径计数的基础

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一、知识结构总览

graph TB
    A["2.6 矩阵"] --> B["矩阵基本概念"]
    A --> C["矩阵算术运算"]
    A --> D["转置与幂"]
    A --> E["0-1 矩阵"]

    B --> B1["矩阵定义：矩形阵列"]
    B --> B2["m × n 矩阵"]
    B --> B3["行、列、元素 aᵢⱼ"]
    B --> B4["方阵 Square Matrix"]
    B --> B5["矩阵相等"]

    C --> C1["矩阵加法 A + B"]
    C --> C2["矩阵乘法 AB"]
    C --> C3["乘法结合律"]
    C --> C4["乘法不满足交换律"]

    D --> D1["单位矩阵 Iₙ"]
    D --> D2["矩阵的幂 Aʳ"]
    D --> D3["转置 Aᵗ"]
    D --> D4["对称矩阵 A = Aᵗ"]

    E --> E1["0-1 矩阵定义"]
    E --> E2["Join A ∨ B"]
    E --> E3["Meet A ∧ B"]
    E --> E4["布尔积 A ⊙ B"]
    E --> E5["布尔幂 A⁽ʳ⁾"]

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二、核心思想

核心思想

本节的核心思想是：矩阵不仅是线性代数的计算工具，更是离散数学中表示关系的核心数据结构。矩阵乘法不满足交换律是初学者最需注意的性质。0-1 矩阵及其布尔运算（join、meet、布尔积）为图论中的路径计数和连通性判断提供了精确的代数工具——布尔幂 $A^{[r]}$ 的 $(i,j)$ 元素直接表示顶点 $i$ 到 $j$ 是否存在长度为 $r$ 的路径。

1. 矩阵的定义

矩阵（Matrix）

矩阵是一个矩形阵列（rectangular array）的数。一个有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵称为 $m\times n$ 矩阵。

• 矩阵的复数形式为 matrices
• 行数等于列数的矩阵称为方阵（square matrix）
• 两个矩阵相等当且仅当它们有相同的行数和列数，且所有对应位置的元素都相等

矩阵的例子

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$

是一个 $3\times 2$ 矩阵。

矩阵的元素、行与列

设 $m\times n$ 矩阵

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

• $a_{ij}$ 称为 $\mathbf{A}$ 的==第 $(i,j)$ 元素==（或 $(i,j)$ 处的元素/entry）
• $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行是 $1\times n$ 矩阵 $[a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}]$
• $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 列是 $m\times 1$ 矩阵 $\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right]$
• 简记：$\mathbf{A}=[a_{ij}]$

2. 矩阵算术运算

2.1 矩阵加法

矩阵加法

设 $\mathbf{A}=[a_{ij}]$ 和 $\mathbf{B}=[b_{ij}]$ 都是 $m\times n$ 矩阵，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的和记为 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$，是 $m\times n$ 矩阵：

$\mathbf{A}+\mathbf{B}=[a_{ij}+b_{ij}]$

• 矩阵加法通过对应位置元素相加得到
• 不同大小的矩阵不能相加

矩阵加法

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 2& -3\\ 3& 4& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3& 4& -1\\ 1& -3& 0\\ -1& 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 4& -2\\ 3& -1& -3\\ 2& 5& 2\end{array}\right]$

推导过程（以 $(1,1)$ 元素为例）：$1+3=4$

2.2 矩阵乘法

矩阵乘法

设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times k$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 是 $k\times n$ 矩阵，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的积 $\mathbf{AB}$ 是 $m\times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 处元素为：

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{ik}{b}_{kj}={\sum }_{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}$

• 矩阵乘法仅当 $\mathbf{A}$ 的列数等于 $\mathbf{B}$ 的行数时有定义
• $(i,j)$ 处元素是 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与 $\mathbf{B}$ 的第 $j$ 列的点积

矩阵乘法的计算

设

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ 2& 1& 1\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 2\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 1\\ 3& 0\end{array}\right]$

$\mathbf{A}$ 是 $4\times 3$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 是 $3\times 2$ 矩阵，故 $\mathbf{AB}$ 是 $4\times 2$ 矩阵。

推导过程（以 $(3,1)$ 元素为例）：

$c_{31}=a_{31}{b}_{11}+a_{32}{b}_{21}+a_{33}{b}_{31}=3\cdot 2+1\cdot 1+0\cdot 3=6+1+0=7$

完整结果：

$\mathbf{AB}=\left[\begin{array}{cc}14& 4\\ 8& 9\\ 7& 13\\ 8& 2\end{array}\right]$

矩阵乘法不满足交换律

这是初学者最容易犯错的地方。即使 $\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{BA}$ 都有定义，它们也不一定相等。

反例：设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$，则

$\mathbf{AB}=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 5& 3\end{array}\right],\mathbf{BA}=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 2\end{array}\right]$

显然 $\mathbf{AB}\ne \mathbf{BA}$。

矩阵乘法的维度分析

• $m\times k$ 矩阵 $\times$ $k\times n$ 矩阵 $=$ $m\times n$ 矩阵
• 如果 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$，$\mathbf{B}$ 是 $r\times s$：
  • $\mathbf{AB}$ 有定义 $\iff$ $n=r$
  • $\mathbf{BA}$ 有定义 $\iff$ $s=m$
  • 两者都有定义且同型 $\iff$ $m=n=r=s$（即两者都是同阶方阵）

3. 单位矩阵、转置与对称矩阵

3.1 单位矩阵（Identity Matrix）

单位矩阵

$n$ 阶单位矩阵 ${\mathbf{I}}_n=[{\delta }_{ij}]$，其中 ${\delta }_{ij}$ 是Kronecker delta：

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{若 }i=j\\ 0& \text{若 }i\ne j\end{array}$

即主对角线上的元素为 1，其余为 0：

${\mathbf{I}}_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

• 单位矩阵是矩阵乘法的”单位元”：$\mathbf{A}{\mathbf{I}}_n={\mathbf{I}}_m\mathbf{A}=\mathbf{A}$（$\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵）

3.2 矩阵的幂

矩阵的幂

由于矩阵乘法满足结合律，可以定义方阵的幂：

${\mathbf{A}}^r=\underset{r\text{ 个因子}}{\underbrace{\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}\cdots \mathbf{A}}},{\mathbf{A}}^0={\mathbf{I}}_n$

3.3 转置矩阵（Transpose）

转置矩阵

设 $\mathbf{A}=[a_{ij}]$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $\mathbf{A}$ 的转置 ${\mathbf{A}}^t$ 是 $n\times m$ 矩阵，通过互换行和列得到。若 ${\mathbf{A}}^t=[b_{ij}]$，则：

$b_{ij}=a_{ji}(i=1,2,\dots ,n;j=1,2,\dots ,m)$

转置矩阵

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]⟹{\mathbf{A}}^t=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$

$\mathbf{A}$ 是 $2\times 3$ 矩阵，${\mathbf{A}}^t$ 是 $3\times 2$ 矩阵。

3.4 对称矩阵（Symmetric Matrix）

对称矩阵

方阵 $\mathbf{A}$ 称为对称矩阵，如果 $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^t$。即对所有 $i,j$，有 $a_{ij}=a_{ji}$。

• 对称矩阵关于其主对角线（main diagonal）对称

对称矩阵

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

验证：$a_{12}=1=a_{21}$，$a_{13}=0=a_{31}$，$a_{23}=1=a_{32}$，故 $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^t$。

转置的重要性质

• $({\mathbf{A}}^t{)}^t=\mathbf{A}$
• $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^t={\mathbf{A}}^t+{\mathbf{B}}^t$
• $(\mathbf{AB}{)}^t={\mathbf{B}}^t{\mathbf{A}}^t$（注意顺序反转！）

4. 0-1 矩阵（Zero-One Matrices）

0-1 矩阵

0-1 矩阵是所有元素都等于 0 或 1 的矩阵。0-1 矩阵常用于表示离散结构（如图的邻接矩阵）。

• 基于布尔运算 $\wedge$（与）和 $\vee$（或）定义：
  • $b_1\wedge b_2=1$ 当且仅当 $b_1=b_2=1$
  • $b_1\vee b_2=1$ 当且仅当 $b_1=1$ 或 $b_2=1$

4.1 Join 与 Meet

Join 与 Meet

设 $\mathbf{A}=[a_{ij}]$ 和 $\mathbf{B}=[b_{ij}]$ 是 $m\times n$ 的 0-1 矩阵：

• $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的join（合取）$\mathbf{A}\vee \mathbf{B}=[a_{ij}\vee b_{ij}]$
• $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的meet（析取）$\mathbf{A}\wedge \mathbf{B}=[a_{ij}\wedge b_{ij}]$

Join 与 Meet 的计算

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$。

$\mathbf{A}\vee \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1\vee 0& 0\vee 1& 1\vee 0\\ 0\vee 1& 1\vee 1& 0\vee 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$

$\mathbf{A}\wedge \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1\wedge 0& 0\wedge 1& 1\wedge 0\\ 0\wedge 1& 1\wedge 1& 0\wedge 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

4.2 布尔积（Boolean Product）

布尔积

设 $\mathbf{A}=[a_{ij}]$ 是 $m\times k$ 的 0-1 矩阵，$\mathbf{B}=[b_{ij}]$ 是 $k\times n$ 的 0-1 矩阵，则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的布尔积 $\mathbf{A}\odot \mathbf{B}$ 是 $m\times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 处元素为：

$c_{ij}=(a_{i1}\wedge b_{1j})\vee (a_{i2}\wedge b_{2j})\vee \cdots \vee (a_{ik}\wedge b_{kj})$

• 布尔积的计算方式与普通矩阵乘法类似，但用 $\vee$ 替代加法，用 $\wedge$ 替代乘法

布尔积的计算

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$。

推导过程（以 $(1,1)$ 元素为例）：

$c_{11}=(a_{11}\wedge b_{11})\vee (a_{12}\wedge b_{21})=(1\wedge 1)\vee (0\wedge 0)=1\vee 0=1$

推导过程（以 $(2,2)$ 元素为例）：

$c_{22}=(a_{21}\wedge b_{12})\vee (a_{22}\wedge b_{22})=(0\wedge 1)\vee (1\wedge 1)=0\vee 1=1$

完整结果：

$\mathbf{A}\odot \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$

4.3 布尔幂（Boolean Powers）

布尔幂

设 $\mathbf{A}$ 是 $n\times n$ 的 0-1 方阵，$r$ 为正整数，则 $\mathbf{A}$ 的第 $r$ 次布尔幂为：

${\mathbf{A}}^{[r]}=\underset{r\text{ 个因子}}{\underbrace{\mathbf{A}\odot \mathbf{A}\odot \cdots \odot \mathbf{A}}}$

• ${\mathbf{A}}^{[0]}={\mathbf{I}}_n$
• 布尔幂在图论中有重要应用：${\mathbf{A}}^{[r]}$ 的 $(i,j)$ 元素为 1 表示图中顶点 $i$ 到顶点 $j$ 存在长度为 $r$ 的路径

布尔幂的计算

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$。

${\mathbf{A}}^{[2]}=\mathbf{A}\odot \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

${\mathbf{A}}^{[3]}={\mathbf{A}}^{[2]}\odot \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]={\mathbf{I}}_3$

${\mathbf{A}}^{[4]}={\mathbf{A}}^{[3]}\odot \mathbf{A}={\mathbf{I}}_3\odot \mathbf{A}=\mathbf{A}$

可以看到，布尔幂呈现周期性：${\mathbf{A}}^{[n+3]}={\mathbf{A}}^{[n]}$。

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三、补充理解与易混淆点

补充理解

1. 矩阵的历史发展与 Cayley 的贡献

矩阵的概念虽然现在看来是线性代数的核心，但其系统化发展相对较晚。英国数学家James Joseph Sylvester 在 1850 年首次引入”matrix”一词（拉丁语”子宫”之意，因为他将矩阵视为从其中产生行列式的母体）。然而，真正建立矩阵代数体系的是英国数学家Arthur Cayley（1821-1895）。Cayley 在 1855 年的论文”A Memoir on the Theory of Matrices”中首次系统阐述了矩阵的加法、乘法和求逆运算，并证明了矩阵乘法的结合律以及 $(\mathbf{AB}{)}^t={\mathbf{B}}^t{\mathbf{A}}^t$ 等重要性质。Cayley 的工作将矩阵从单纯的计算工具提升为独立的代数结构，为后来的量子力学、计算机图形学和机器学习奠定了数学基础。

• 来源: Cayley, A. (1855). “A Memoir on the Theory of Matrices.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148, 17-37. https://doi.org/10.1098/rstl.1858.0002
• 参考: Hawkins, T. (1975). “Cauchy and the spectral theory of matrices.” Historia Mathematica, 2(1), 1-29.

网络资源：

• Academo - Venn Diagram Generator — 集合关系的可视化（矩阵与集合运算的对应）

2. 0-1 矩阵与图论中的邻接矩阵

0-1 矩阵在离散数学中最重要的应用之一是表示图（graph）的邻接矩阵（adjacency matrix）。给定一个有 $n$ 个顶点的图 $G$，其邻接矩阵 $\mathbf{A}$ 是一个 $n\times n$ 的 0-1 矩阵，其中 $a_{ij}=1$ 当且仅当存在从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的边。邻接矩阵的布尔幂 ${\mathbf{A}}^{[r]}$ 揭示了图的深层结构：$({\mathbf{A}}^{[r]}{)}_{ij}=1$ 表示顶点 $i$ 到顶点 $j$ 之间存在长度恰好为 $r$ 的路径。进一步地，$\mathbf{A}\vee {\mathbf{A}}^{[2]}\vee \cdots \vee {\mathbf{A}}^{[n-1]}$ 的 $(i,j)$ 元素为 1 表示顶点 $i$ 到顶点 $j$ 之间存在任意长度的路径，这是判断图连通性的关键工具。这一理论将在第 9 章中详细展开。

• 来源: Rosen, K. H. (2019). Discrete Mathematics and Its Applications (8th ed.), Section 9.4. McGraw-Hill.
• 参考: Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. (2008). Graph Theory (2nd ed.). Springer. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-970-5

网络资源：

• IntersectMe — 集合关系可视化工具

易混淆点

1. 矩阵乘法 vs 标量乘法

• ❌ 认为矩阵乘法与数的乘法一样满足交换律，即 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$
• ✅ 矩阵乘法不满足交换律。即使 $\mathbf{AB}$ 和 $\mathbf{BA}$ 都有定义（要求两者都是同阶方阵），它们也通常不相等。矩阵乘法满足结合律 $\mathbf{A}(\mathbf{BC})=(\mathbf{AB})\mathbf{C}$ 和分配律 $\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB}+\mathbf{AC}$，但不满足交换律和消去律（$\mathbf{AB}=\mathbf{AC}$ 不能推出 $\mathbf{B}=\mathbf{C}$）

2. 普通矩阵乘法 vs 布尔积

• ❌ 将布尔积 $\mathbf{A}\odot \mathbf{B}$ 与普通矩阵乘法 $\mathbf{AB}$ 混淆，使用普通加法和乘法来计算布尔积
• ✅ 布尔积的计算方式与普通矩阵乘法结构相同，但运算被替换：用布尔或 $\vee$ 替代加法，用布尔与 $\wedge$ 替代乘法。例如，普通乘法中 $c_{ij}={\sum }_l{a}_{il}{b}_{lj}$（求和后可能大于 1），而布尔积中 $c_{ij}={\bigvee }_l(a_{il}\wedge b_{lj})$（结果只能是 0 或 1）。布尔积的结果始终是 0-1 矩阵

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四、习题精选

习题概览

题号范围	核心考点	难度
1	矩阵的维度、行、列、元素、转置	⭐
2	矩阵加法	⭐
3-4	矩阵乘法	⭐⭐
5-6	已知乘积求未知矩阵（解线性方程组）	⭐⭐⭐
7-9	矩阵加法的性质（单位元、交换律、结合律）	⭐⭐
10-11	矩阵乘法的维度分析	⭐⭐
12-13	矩阵乘法的分配律与结合律证明	⭐⭐⭐
14-15	对角矩阵与矩阵的幂	⭐⭐
16-17	转置的性质证明	⭐⭐
18-22	逆矩阵的定义与性质	⭐⭐⭐
23	对称矩阵的证明	⭐⭐
24-26	矩阵与线性方程组的关系	⭐⭐⭐
27-29	0-1 矩阵的 join、meet、布尔积、布尔幂	⭐⭐
30-35	0-1 矩阵运算的性质证明	⭐⭐⭐

题1：计算布尔积

题目

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，求布尔积 $\mathbf{A}\odot \mathbf{B}$。

解答

$\mathbf{A}$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 是 $3\times 2$ 矩阵，故 $\mathbf{A}\odot \mathbf{B}$ 是 $3\times 2$ 矩阵。

$c_{11}=(1\wedge 0)\vee (1\wedge 1)\vee (0\wedge 0)=0\vee 1\vee 0=1$ $c_{12}=(1\wedge 1)\vee (1\wedge 0)\vee (0\wedge 1)=1\vee 0\vee 0=1$ $c_{21}=(0\wedge 0)\vee (1\wedge 1)\vee (1\wedge 0)=0\vee 1\vee 0=1$ $c_{22}=(0\wedge 1)\vee (1\wedge 0)\vee (1\wedge 1)=0\vee 0\vee 1=1$ $c_{31}=(1\wedge 0)\vee (0\wedge 1)\vee (0\wedge 0)=0\vee 0\vee 0=0$ $c_{32}=(1\wedge 1)\vee (0\wedge 0)\vee (0\wedge 1)=1\vee 0\vee 0=1$

$\mathbf{A}\odot \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ $■$

题2：矩阵乘法的计算

题目

计算 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$ 的乘积 $AB$。

解答

$A$ 是 $2\times 2$ 矩阵，$B$ 是 $2\times 2$ 矩阵，故 $AB$ 是 $2\times 2$ 矩阵。

逐个计算每个元素（$A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列的点积）：

• $c_{11}=1\cdot 5+2\cdot 7=5+14=19$
• $c_{12}=1\cdot 6+2\cdot 8=6+16=22$
• $c_{21}=3\cdot 5+4\cdot 7=15+28=43$
• $c_{22}=3\cdot 6+4\cdot 8=18+32=50$

$AB=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$ $■$

题3：转置矩阵的计算与验证

题目

求 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ 的转置 $A^T$，并验证 $(A^T{)}^T=A$。

解答

求转置：将行和列互换。

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

验证：观察到 $A$ 的 $(i,j)$ 元素与 $(j,i)$ 元素相同（例如 $a_{12}=0=a_{21}$，$a_{13}=1=a_{31}$，$a_{23}=1=a_{32}$），因此 $A$ 是对称矩阵，$A^T=A$。

再转置一次：$(A^T{)}^T=A^T=A$，验证 $(A^T{)}^T=A$ 成立。$■$

题4：0-1 矩阵的布尔积

题目

设 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$，$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$，计算布尔积 $\mathbf{A}\odot \mathbf{B}$。

解答

$\mathbf{A}$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$\mathbf{B}$ 是 $3\times 2$ 矩阵，故 $\mathbf{A}\odot \mathbf{B}$ 是 $3\times 2$ 矩阵。

逐个计算每个元素（用 $\vee$ 替代加法，$\wedge$ 替代乘法）：

• $c_{11}=(1\wedge 0)\vee (0\wedge 1)\vee (1\wedge 1)=0\vee 0\vee 1=1$
• $c_{12}=(1\wedge 1)\vee (0\wedge 0)\vee (1\wedge 1)=1\vee 0\vee 1=1$
• $c_{21}=(1\wedge 0)\vee (1\wedge 1)\vee (0\wedge 1)=0\vee 1\vee 0=1$
• $c_{22}=(1\wedge 1)\vee (1\wedge 0)\vee (0\wedge 1)=1\vee 0\vee 0=1$
• $c_{31}=(0\wedge 0)\vee (1\wedge 1)\vee (0\wedge 1)=0\vee 1\vee 0=1$
• $c_{32}=(0\wedge 1)\vee (1\wedge 0)\vee (0\wedge 1)=0\vee 0\vee 0=0$

$\mathbf{A}\odot \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ $■$

题5：矩阵乘法的转置性质

题目

证明矩阵乘法的转置性质：$(AB{)}^T=B^T{A}^T$。

解答

证明：设 $A$ 是 $m\times k$ 矩阵，$B$ 是 $k\times n$ 矩阵。

则 $AB$ 是 $m\times n$ 矩阵，$(AB{)}^T$ 是 $n\times m$ 矩阵。

$B^T$ 是 $n\times k$ 矩阵，$A^T$ 是 $k\times m$ 矩阵，故 $B^T{A}^T$ 是 $n\times m$ 矩阵。

两者维度相同。下证对应元素相等。

$(AB{)}^T$ 的第 $(j,i)$ 元素等于 $AB$ 的第 $(i,j)$ 元素：

$(AB{)}_{ij}={\sum }_{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}$

$B^T{A}^T$ 的第 $(j,i)$ 元素：

$(B^T{A}^T{)}_{ji}={\sum }_{l=1}^k(B^T{)}_{jl}(A^T{)}_{li}={\sum }_{l=1}^k{b}_{lj}{a}_{il}={\sum }_{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}$

因此 $(AB{)}_{ji}^T=(B^T{A}^T{)}_{ji}$ 对所有 $i,j$ 成立。

故 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$。$■$

解题思路提示

布尔积的计算与普通矩阵乘法结构相同，但用 $\vee$（或）替代加法，$\wedge$（与）替代乘法。逐个计算每个元素，注意结果只能是 0 或 1。

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五、视频学习指南

视频资源

资源	链接	对应内容	备注
Rosen 8e Section 2.6	教材原文	矩阵运算与0-1矩阵	英文教材
3Blue1Brown - Essence of Linear Algebra Ch3	链接	矩阵乘法的几何直觉	英文，可视化讲解
TrevTutor - Matrices	链接	矩阵基本运算	英文，适合自学

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六、教材原文

教材原文

“A matrix is a rectangular array of numbers. A matrix with m rows and n columns is called an m × n matrix.”

“Let A = [a_{ij}] and B = [b_{ij}] be m × n zero-one matrices. The join of A and B is the zero-one matrix with (i, j) entry equal to a_{ij} ∨ b_{ij}. The meet of A and B is the zero-one matrix with (i, j) entry equal to a_{ij} ∧ b_{ij}.”

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参见 Wiki

• 矩阵 — 矩阵的基本概念与分类
• 矩阵运算 — 矩阵加法、乘法与转置
• 0-1矩阵 — 布尔矩阵及其在图论中的应用
• 逆矩阵 — 可逆矩阵的定义与判定
• 邻接矩阵 — 图的矩阵表示
• 线性方程组 — 矩阵与线性方程组的关系
• 关系矩阵 — 二元关系的矩阵表示
• 路径矩阵 — Warshall 算法与可达性矩阵 #学习/离散数学/基本结构